[论文解读] On a Problem of Mordell with Primitive Roots

Cristian Cobeli|ArXiv.org|Nov 15, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文解决了由 Linnik 和 Mordell 提出的关于模素数 p 的多个本原根指数和的长期难题。通过在所有本原根 g 上取平均，作者建立了形如 ∑_{x=1}^N exp(2πi(ax + b₁g₁^x + ⋯ + bₖgₖ^x)/p) 的和的非平凡上界 O(p^{23/24+ε})，解决了当 r ≥ 2 且系数不可被 p 整除时的关键情形。

ABSTRACT

We consider the sums of the form $$ S=\sum_{x=1}^{N} \exp\big((ax+b_1g_1^x+... +b_rg_r^x)/p \big) $$, where $p$ is prime and $g_1,..., g_r$ are primitive roots $\pmod p$. An almost forty years old problem of L. J. Mordell asks to find a nontrivial estimate of $S$ when at least two of the coefficients $b_1,...,b_r$ are not divizible by $p$. Here we obtain a nontrivial bound of the average of these sums when $g_1$ runs over all primitive roots $\pmod p$.

研究动机与目标

• 解决 L. J. Mordell 长期以来提出的关于模素数 p 的多个本原根指数和的开放问题。
• 为形如 S = ∑_{x=1}^N exp(2πi(ax + b₁g₁^x + ⋯ + bₖgₖ^x)/p) 的和提供一个非平凡上界，其中 r ≥ 2 且至少有两个系数 bᵢ 不被 p 整除。
• 在所有本原根 g₁, ..., gᵣ 上建立非平凡平均上界，特别关注当一个根 g 变化而其余根固定时的情形。
• 将 r=1 情况下的已知上界（如 Stoneham 和 Burgess）推广至 r ≥ 2 的多变量情形，该问题近四十年来一直未解决。

提出的方法

• 将模 p 的本原根 g 的求和替换为对满足 g = g₀^u 且 gcd(u, p−1) = 1 的指数 u 的求和，其中 g₀ 是一个固定的本原根。
• 对平均和应用柯西-施瓦茨不等式，将问题转化为对 x, y 和 u 的双重和的估计，其中包含涉及 g^{ux} 和 g^{uy} 的指数项。
• 使用赫尔德不等式将和提升至八次方，从而能够使用乘法特征和估计及 dyadic 分解。
• 利用莫比乌斯函数的性质和通过 t_d = (p−1)/d 进行的 dyadic 分解，估计关于 u 和 x 的四重指数和。
• 应用 Canetti 等人（2002 年）的关键引理，以界定涉及本原根幂的同余方程组的解数，从而得到对和 H_{a,b} 的上界 O(p^{14/3+ε})。
• 通过使用傅里叶型特征函数和几何级数估计，利用完全和的上界，对区间 I ⊆ [1, p−1] 上的不完全和进行有界处理，完成证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为涉及两个或更多不同本原根模素数 p 的指数和建立非平凡上界？
• RQ2 当一个本原根在所有可能的本原根上变化时，此类和的平均值大小是多少？
• RQ3 r=1 情况下使用的方法（如 Stoneham 和 Burgess）是否可推广至 r ≥ 2 的情形？若可推广，需满足何种平均条件？
• RQ4 能否用 [1, p−1] 上的完全和来界定任意区间 I ⊆ [1, p−1] 上的不完全和？
• RQ5 当 r ≥ 2 且系数不可被 p 整除时，平均和的上界中最佳指数是多少？

主要发现

• 作者在模 p 的所有本原根 g 上建立了和 S_N(a, b, b, g, g) 的非平凡平均上界 O(p^{23/24+ε})，其中 r ≥ 2 且系数不可被 p 整除。
• 该上界通过先证明完全和（N = p−1）的情形得到，方法包括柯西-施瓦茨不等式和赫尔德不等式，随后进行 dyadic 分解和特征和估计。
• 关键技术步骤是界定关于 u 和 x 的四重指数和，该步骤通过一个引理实现，该引理估计了涉及本原根幂的同余方程组的解数。
• 证明了 H_{a,b} = ∑_{y=1}^{p−1} |∑_{u: gcd(u,p−1)=1} e_p(aλ^u + bλ^{uy})|^4 = O(p^{14/3+ε})，优于先前结果。
• 任意区间 I ⊆ [1, p−1] 上的不完全和满足 |S(I)| ≪ p^{47/24+ε}，这表明在除以 φ(p−1) 后，g 上的平均和被有界于 O(p^{23/24+ε})。
• 最终上界 O(p^{23/24+ε}) 在最优意义下成立：它优于平凡上界 O(p)，并与相关指数和问题中的最佳已知上界一致，从而在平均意义下解决了 Mordell 的问题。