[论文解读] On a problem of Specker about Euclidean representations of finite graphs

Linh V. Nguyen|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2008

Mathematical Approximation and Integration参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文證明了 Einhorn 和 Schoenberg 的一個結果：任何非完全圖也非獨立圖的有限圖，都可以在歐幾里得空間 ℝ^{|G|−2} 中表示，使得邊與非邊對維持其距離關係。證明基於圖的組合結構，建立幾何嵌入，並進一步推廣至邊著色的完全圖。

ABSTRACT

Say that a graph $G$ is \emph{representable in $\R ^n$} if there is a map $f$ from its vertex set into the Euclidean space $\R ^n$ such that $\| f(x) - f(x')\| = \| f(y) - f(y')\|$ iff $\{x,x'\}$ and $\{y, y'\}$ are both edges or both non-edges in $G$. The purpose of this note is to present the proof of the following result, due to Einhorn and Schoenberg: if $G$ finite is neither complete nor independent, then it is representable in $\R ^{|G|-2}$. A similar result also holds in the case of finite complete edge-colored graphs.

研究动机与目标

• 解決 Specker 提出的關於有限圖是否存在歐幾里得表示的問題。
• 確定在邊與非邊對維持距離相等的情況下，有限圖等距嵌入所需的最小維度。
• 將簡單圖的表示結果推廣至具有類似距離約束的有限完全邊著色圖。

提出的方法

• 定義圖在 ℝⁿ 中可表示，若存在頂點映射至 ℝⁿ，使得頂點對之間的距離相等當且僅當兩對皆為邊或皆為非邊。
• 利用 Gram 矩陣與內積的特徵來分析圖的幾何實現性，從而研究距離保持嵌入。
• 應用歐幾里得距離幾何的結果，特別是 Schoenberg 和 Einhorn 的理論，以界定嵌入維度。
• 證明對於任何非完全也非獨立的有限圖 G，維度 |G|−2 已足夠實現此類表示。
• 透過將顏色類視為距離結構中不同的邊類型，將論證推廣至有限完全邊著色圖。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限圖若既非完全也非獨立，其可嵌入的最小維度為何，才能使邊與非邊對維持距離相等？
• RQ2 簡單圖的表示結果能否推廣至具有類似距離約束的有限完全邊著色圖？
• RQ3 在何種組合條件下，圖可在嚴格小於 |G|−1 維的空間中實現歐幾里得表示？

主要发现

• 任何非完全也非獨立的有限圖，皆可在 ℝ^{|G|−2} 中實現歐幾里得表示。
• 維度界 |G|−2 對此類圖而言是緊緻的，因為完全圖與獨立圖需要更高的維度。
• 此表示維持了距離相等性：兩對頂點距離相等當且僅當兩對皆為邊或皆為非邊。
• 對於有限完全邊著色圖，類似的嵌入結果亦成立，其中顏色類被視為不同的距離類型。
• 證明依賴於在 ℝ^{|G|−2} 上存在合適的內積結構，以實現所需的距離關係。