[论文解读] On a quasi-ordering on Boolean functions

Miguel Couceiro, Maurice Pouzet|ArXiv.org|Jan 10, 2006

Advanced Algebra and Logic参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文证明了基于变量操作（合并、置换、加法）的布尔函数等价类的偏序集，既可嵌入也可嵌入到自然数的有限子集按包含关系排序的偏序集中。它证明了由有限个函数方程定义的布尔函数等式类，恰好与该拟序集的初始段一致，并给出了一个显式方程来刻画最多具有 k 个本质变量的线性函数。

ABSTRACT

It was proved few years ago that classes of Boolean functions definable by means of functional equations \cite{EFHH}, or equivalently, by means of relational constraints \cite{Pi2}, coincide with initial segments of the quasi-ordered set $(Ω, \leq)$ made of the set $Ω$ of Boolean functions, suitably quasi-ordered. The resulting ordered set $(Ω/\equiv, \sqsubseteq)$ embeds into $([ω]^{

研究动机与目标

• 建立布尔函数拟序集与自然数 ω 的有限子集按包含关系排序的偏序集之间的深层结构联系。
• 将布尔函数的等式类（由有限个函数方程定义）表征为拟序集 (Ω, ≤) 的初始段，并证明其与由有限个障碍定义的类一致。
• 为最多具有 k 个本质变量的线性布尔函数类提供一个具体的等式刻画。
• 证明偏序集 (Ω/≡, ⊑) 既可嵌入到也可嵌入到偏序集 ([ω]^{<ω}, ⊆) 中，揭示了丰富的组合结构。
• 证明具有有界本质变量的布尔函数类可通过函数方程有限公理化。

提出的方法

• 在布尔函数上定义一个拟序 ≤，使得 g ≤ f 当且仅当 g 可通过 f 的变量合并、置换或加法操作得到。
• 通过 f ≡ g 当且仅当 f ≤ g 且 g ≤ f 定义 Ω 上的等价关系 ≡，从而得到商偏序集 (Ω/≡, ⊑)。
• 证明 (Ω/≡, ⊑) 中每个初始段 ↓x 均为有限集，从而可将该偏序集按层级分解为有限层级 Ω/≡_n。
• 利用初始段与反链之间的对偶性：每个初始段 I 对应唯一的极小反链 A，使得 I = Forbid(A)。
• 通过将每个有限子集 I 映射到一个由变量代换构造导出的函数 g_I'，显式构造一个序嵌入 φ: ([ω]^{<ω}, ⊆) → (Ω/≡, ⊑)。
• 利用二元域上的线性代数，基于向量的奇偶性与交集性质，推导出一个刻画最多具有 k 个本质变量的线性函数的函数方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 偏序集 (Ω/≡, ⊑) 是否可嵌入到 ([ω]^{<ω}, ⊆) 中，且是否也可将 ([ω]^{<ω}, ⊆) 嵌入回 (Ω/≡, ⊑)？
• RQ2 由函数方程定义的布尔函数等式类是否恰好是拟序集 (Ω, ≤) 的初始段？
• RQ3 最多具有 k 个本质变量的线性布尔函数类是否可用单个函数方程定义？
• RQ4 有限反链障碍集与有限公理化的等式类之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过层级分解与有限初始段完全刻画偏序集 (Ω/≡, ⊑) 的结构？

主要发现

• 偏序集 (Ω/≡, ⊑) 既可嵌入到也可嵌入到偏序集 ([ω]^{<ω}, ⊆) 中，从而在两者之间建立了双向嵌入关系。
• 任何由有限个障碍定义的 (Ω, ≤) 的初始段，也可由单个函数方程定义，从而确认了基于障碍与基于方程的定义之间存在强等价性。
• 最多具有 k 个本质变量的线性函数类由一个涉及变量和与乘积奇偶性的方程唯一公理化。
• 刻画 L^k（最多具有 k 个本质变量的线性函数）的方程为：(f(0) ∧ ⋀_{1≤i≤k+1} f(x_i) → ⋁_{j<l} f(x_j x_l)) ∨ (f(0) ∧ ⋀_{1≤i≤k+1} (f(x_i)+1) → ⋁_{j<l} (f(x_j x_l)+1)) = 1。
• 证明了一个关键引理：若在 n 维 F_2 上的向量空间中给定 k+1 个奇权重向量，且 n ≤ k，则至少存在一对向量，其逐分量乘积的权重为奇数，该引理支撑了 L^k 方程的正确性。
• 最多具有 k 个本质变量的布尔函数类是有限公理化的，尤其对线性函数类也成立。