[论文解读] On a question of O'Grady about modified diagonals

B.J. Moonen, Qizheng Yin|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了 O'Grady 关于阿贝尔簇中修正对角线周期的猜想的推广版本。通过使用楚环动机和乘法-by-n 自同态的作用，作者表明，当 $X$ 是基 scheme $S$ 上相对维数为 $g$ 的阿贝尔丛时，$X^m$ 的楚环中修正对角线周期类 $\Gamma^m(X,a)$ 在 $m \geq 2g+1$ 时是挠的，其中 $a \in X(S)$ 为任意截面，从而将 O'Grady 的原始猜想推广至相对情形。

ABSTRACT

Let X be an abelian variety of dimension g. In a recent preprint O'Grady defines modified diagonal classes Γ^m on X^m and he conjectures that the class of Γ^m in the Chow ring of X^m is torsion for m \geq 2g+1. We prove a generalization of this conjecture.

研究动机与目标

• 解决 O'Grady 关于阿贝尔簇上修正对角线周期在楚环中为挠类的猜想。
• 将 O'Grady 的猜想从绝对情形推广至 Dedekind 基 scheme $S$ 上的相对情形。
• 建立修正对角线周期类 $\Gamma^m(X,a)$ 在 $\mathrm{CH}(X^m)$ 中为挠类的结论，其中 $X$ 是相对维数为 $g$ 的阿贝尔丛，且 $m \geq 2g+1$。
• 利用楚环动机的结构及乘法-by-$n$ 自同态的作用，分析周期类的分解。

提出的方法

• 作者通过非空子集 $\{1,\dots,m\}$ 索引的对角嵌入子簇的交错和来定义修正对角线周期 $\Gamma^m(X,a)$，并利用截面 $a$。
• 他们在 $S$ 上的楚环动机范畴中工作，利用 $h(X)$ 的分次分量 $h^i(X)$ 的典范分解，这些分量在乘法-by-$n$ 自同态作用下保持稳定。
• 关键技术在于分析乘法-by-$n$ 在 $\Gamma^m$ 上的作用，证明 $\mathrm{mult}_{X^m}(n)_*[̻^m] = n^{2g} \cdot [̻^m]$，从而将周期类限制在特定的动机分量中。
• 他们利用收缩第 $j$ 个因子的投影映射 $\hat{\mathrm{pr}}_j$，证明 $\Gamma^m$ 沿任意此类映射的推出为零。
• 他们证明，任何在动机张量积 $\otimes_j h^{i_j}(X)$ 的楚环中、且某个 $i_j = 2g$ 的分量，由于推出结构中的抵消作用而必然为零。
• 主要论证归结为证明：当 $m \geq 2g+1$ 时，所有满足 $|i| = 2g(m-1)$ 的 $m$-元组 $i = (i_1,\dots,i_m)$ 必至少包含一个 $i_j = 2g$，因此周期类位于一个在任意 $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 下为零的分量中。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于相对维数为 $g$ 的阿贝尔丛 $X$，当 $m \geq 2g+1$ 时，修正对角线周期 $\Gamma^m(X,a)$ 在楚环 $\mathrm{CH}(X^m)$ 中是否为挠类？
• RQ2 O'Grady 关于修正对角线的猜想能否推广至一般 Dedekind 基 scheme $S$ 上的相对情形？
• RQ3 修正对角线周期 $\Gamma^m(X,a)$ 的精确动机分解为何？其与 $h(X)$ 的典范分解有何关系？
• RQ4 乘法-by-$n$ 自同态的作用如何约束 $\mathrm{CH}(X^m)$ 中周期类 $\Gamma^m$ 的结构？
• RQ5 在何种条件下，$\Gamma^m$ 沿投影 $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 的推出为零？

主要发现

• 修正对角线周期类 $[\Gamma^m(X,a)]$ 位于动机 $h^{2g(m-1)}(X^m)$ 的楚环中，该动机对应于 $X^m$ 的动机分解中总次数为 $2g(m-1)$ 的分量。
• 当 $m \geq 2g+1$ 时，所有满足 $|i| = 2g(m-1)$ 的 $m$-元组 $i = (i_1,\dots,i_m)$ 必至少包含一个 $i_j = 2g$，从而确保周期类位于一个在任意 $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 下为零的分量中。
• $\Gamma^m$ 沿任意投影 $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 的推出为零，这是由于索引为子集 $I$ 和 $I \cup \{j\}$ 的项之间发生抵消，这是该周期类的关键结构性质。
• 乘法-by-$n$ 在 $\Gamma^m$ 上的作用满足 $\mathrm{mult}_{X^m}(n)_*[̻^m] = n^{2g} \cdot [̻^m]$，这意味着周期类在缩放下至多相差因子 $n^{2g}$，从而限制了其动机支撑。
• 当 $m \geq 2g+1$ 时，周期类 $[\Gamma^m(X,a)]$ 在 $\mathrm{CH}(X^m)$ 中为挠类，因为它位于一个被推出结构和动机分解所消去的分量中。
• 该结果对任意截面 $a \in X(S)$ 成立，因为平移 $a$ 诱导的同构保持挠性，因此只需证明零截面 $e$ 的情形即可。