[论文解读] On a question of Perlis and Stuart regarding arithmetic equivalence

Guillermo Mantilla-Soler|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文解决了Perlis与Stuart提出的一个问题：在算术等价的数域中，每个素数上的分歧次数之和是否必然相等。研究证明，对于七次数域，该和在分歧类型为(1,3)、(1,1,2)或(1,1,1,2)时除外，其余情况下均保持不变；在这些例外情况下存在反例。结果是精确的，通过显式构造非同构的算术等价数域，证明了在这些情形下分歧和确实可以不同。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field. The $K$-arithmetic type of a rational prime $\ell$ is the tuple $A_{K}(\ell)=(f^{K}_{1},...,f^{K}_{g_{\ell}})$ of the residue degrees of $\ell$ in $K$, written in ascending order. A well known result of Perlis from the 70's states that two number fields have the same Dedekind zeta function if and only if for almost all primes $\ell$ the arithmetic types of $\ell$ in both fields coincide. By the end of the 90's Perlis and Stuart asked if having the same zeta function implies that for ramified primes the sum of the ramification degrees coincide. Here we study and answer their question for septic number fields.

研究动机与目标

• 确定算术等价的数域是否必须在每个素数上具有相同的分歧次数之和。
• 研究在算术等价条件下，七次数域中分歧次数的行为。
• 确定在剩余度相同的情况下，分歧次数之和可能不同的精确条件。
• 构造显式反例，以证明分歧和相等性失效的条件是精确的。

提出的方法

• 利用算术等价与伽罗瓦闭包中伽罗瓦子群的拟共轭性之间的等价关系。
• 应用群论技术分析七次域中的分歧与剩余度模式。
• 使用计算代数系统（MAGMA）验证由多项式定义的数域的因子类型与判别式。
• 根据素因子个数与剩余度对可能的算术类型进行分类，重点关注分歧和差异可能发生的场合。
• 利用非算术孤立项七次域的伽罗瓦闭包的伽罗瓦群为PSL₂(𝔽₇)的事实，限制可能的分歧类型。
• 使用判别式赋值公式：vₗ(disc(O_K)) = [K:ℚ] − Σfᵢ，以约束潜在反例中可能的判别式指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 数域的算术等价是否意味着在每个素数上，分歧次数之和都相同？
• RQ2 是否存在算术等价的七次数域，其在某个素数上的总分歧次数不同？
• RQ3 在七次数域中，哪些剩余度类型允许在算术等价下出现分歧和的差异？
• RQ4 野分歧与伽罗瓦群结构对潜在反例施加了何种限制？
• RQ5 能否构造出显式例子，使得分歧次数之和不同，但算术类型相同？

主要发现

• 对于七次数域，除非其算术类型为(1,3)、(1,1,2)或(1,1,1,2)，否则算术等价域中分歧次数之和保持不变。
• 对每种例外类型均存在显式反例：对于(1,3)、(1,1,2)和(1,1,1,2)，存在非同构的算术等价七次数域，其分歧和不同。
• 在非野分歧素数ℓ下，若分歧和不同，则判别式赋值vₗ(disc(O_K))必须属于{2,4}，在给定条件下成立。
• 在野分歧素数下，仅有ℓ = 2和ℓ = 3可能产生反例，此时vₗ(disc(O_K)) ∈ {6,8}。
• 结果是精确的：本文构造出具有相同判别式、相同符号差与因子类型，但例外类型下分歧和不同的七次数域对。
• 非算术孤立项七次域的伽罗瓦群必为PSL₂(𝔽₇)，这限制了可能的分歧类型，并排除了如{(1,2,2),(3,1,1)}等配置的存在。