[论文解读] On a Ramsey-Tur\'an variant of the Hajnal-Szemer\'edi theorem

Rajko Nenadov, Yanitsa Pehova|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文通过证明：若图 $G$ 的最小度满足 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$，且不含大的 $K_\ell$-自由诱导子图（即 $\alpha_\ell(G) = o(n)$），则 $G$ 包含一个 $K_r$-因子。该结果在 $\ell = r-1$ 时为最优，并推广了在独立数约束下关于三角形因子的先前工作。

ABSTRACT

A seminal result of Hajnal and Szemer\\'{e}di states that if a graph $G$ with $n$ vertices has minimum degree $\\delta(G) \\ge (r-1)n/r$ for some integer $r \\ge 2$, then $G$ contains a $K_r$-factor, assuming $r$ divides $n$. Extremal examples which show optimality of the bound on $\\delta(G)$ are very structured and, in particular, contain large independent sets. In analogy to the Ramsey-Tur\\'an theory, Balogh, Molla, and Sharifzadeh initiated the study of how the absence of such large independent sets influences sufficient minimum degree. We show the following two related results: $\\bullet$ For any $r > \\ell \\ge 2$, if $G$ is a graph satisfying $\\delta(G) \\ge (r - \\ell)n/(r - \\ell + 1) +\\Omega(n)$ and $\\alpha_\\ell(G)=o(n)$, that is, a largest $K_\\ell$-free induced subgraph has at most $o(n)$ vertices, then $G$ contains a $K_r$-factor. This is optimal for $\\ell = r - 1$ and extends a result of Balogh, Molla, and Sharifzadeh who considered the case $r = 3$. $\\bullet$ If a graph $G$ satisfies $\\delta(G) =\\Omega(n)$ and $\\alpha_r^*(G) =o(n)$, that is, every induced $K_r$-free $r$-partite subgraph of $G$ has at least one vertex class of size $o(n)$, then it contains a $K_r$-factor. A similar statement is proven for a general graph $H$.

研究动机与目标

• 确定在图 $G$ 排除大 $K_\ell$-自由诱导子图时，确保其包含 $K_r$-因子的最小度条件，从而推广 Hajnal-Szemerédi 定理。
• 通过用 $H$-因子存在性条件替代图论中的 Turán 型结论，弥合极值图论与 Ramsey-Turán 理论之间的鸿沟。
• 通过证明当 $\delta(G) \geq (1/2 + \varepsilon)n$ 时，若 $\alpha_{r-1}(G) = o(n)$，则 $K_r$-因子存在，从而解决 $\ell = r-1$ 的情形，其结果与已知极值界一致。
• 将独立数约束推广至 $\ell < r-1$ 时的 $K_\ell$-自由性，对 $\ell \leq r/2$ 建立紧致界。
• 确定在 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 条件下 $K_r$-tiling 的阈值，将三角形因子的结果推广至一般 $r$-团。

提出的方法

• 利用正规化方法与吹入引理，在具有受控 $K_\ell$-自由子图结构的稠密图中嵌入 $K_r$-因子。
• 应用依赖随机选择技术，寻找具有高最小度和大量 $K\ell$-副本的大子集。
• 通过构造 $K_{\ell+1}$-自由图 $\Gamma_\ell(n)$，其满足 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 且最大度为 $o(n)$，构建极值图。
• 采用反证法与归纳法：假设不存在 $K_r$-因子，利用 $K_\ell$-自由性条件推导出度数矛盾。
• 在 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 条件下，建立最小度阈值 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$，结合迭代嵌入与密度条件。
• 使用概率方法证明大邻域中存在 $K_\ell$-副本，从而通过 Ramsey-Turán 约束确保 $K_r$-tiling 的完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r > \ell \geq 2$ 时，图 $G$ 满足 $\alpha_\ell(G) = o(n)$，其包含 $K_r$-因子的最优最小度条件是什么？
• RQ2 当 $\ell < r-1$ 时，$\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ 的界是否紧？
• RQ3 是否可在弱于 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 的全局约束下（如在 $r$-部图中）保证 $K_r$-因子的存在？
• RQ4 在最小度与 $K_r$-因子障碍方面，$\ell = r-1$ 与 $\ell < r-1$ 的极值构造有何异同？
• RQ5 在较弱的度条件 $\delta(G) \geq (r-2)n/r + o(n)$ 下，$K_r$-tiling 结果是否可扩展至覆盖除 $O(1)$ 个顶点外的所有顶点？

主要发现

• 对于 $r > \ell \geq 2$，若 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ 且 $\alpha_\ell(G) = o(n)$，则 $G$ 包含 $K_r$-因子，且在 $\ell = r-1$ 时该界为最优。
• 当 $\ell = r-1$ 时，$\delta(G) \geq (1/2 + \varepsilon)n$ 的界为最优，与两个大小为 $n/2 \pm 1$ 的团构成的极值构造一致。
• 对于 $\ell \leq r/2$，极值构造表明 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r}n$ 是必要的，而定理给出的界为 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$，表明界之间存在差距。
• 本文证明了若 $\delta(G) = \Omega(n)$ 且 $\alpha_r^*(G) = o(n)$（即每个诱导的 $K_r$-自由 $r$-部子图中某一类的大小为 $o(n)$），则 $G$ 包含 $K_r$-因子，该结论可推广至任意 $H$-因子。
• 构造表明当 $\ell \leq r/2$ 时，$\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r}n$ 是必要的，且与极值例子中的下界一致，表明当 $\ell < r-1$ 时上界不紧。
• 本文解决了问题 1.1 在 $\ell = r-1$ 时的情形，证明该界为紧致，但 $2 \leq \ell < r-1$ 时的确切阈值仍为开放问题。