[论文解读] On a random recursion related to absorption times of death Markov chains

Alexander Iksanov, Martin Möhle|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文通过随机递推 $ X_n \overset{d}{=} X_{n-I_n} + 1 $ 研究死亡马尔可夫链吸收时间的渐近行为，其中 $ I_n $ 具有幂律尾部分布。利用与随机游动的耦合及子调和极限方法，根据 $ \xi $ 的尾部性质，建立了弱收敛到稳定分布或 Mittag-Leffler 分布的结果，重点研究了 $ \beta(a,1) $- coalescents 和一般 $ \Lambda $-coalescents 的情形。

ABSTRACT

Let $X_1,X_2,...$ be a sequence of random variables satisfying the distributional recursion $X_1=0$ and $X_n= X_{n-I_n}+1$ for $n=2,3,...$, where $I_n$ is a random variable with values in $\{1,...,n-1\}$ which is independent of $X_2,...,X_{n-1}$. The random variable $X_n$ can be interpreted as the absorption time of a suitable death Markov chain with state space ${\mathbb N}:=\{1,2,...\}$ and absorbing state 1, conditioned that the chain starts in the initial state $n$. This paper focuses on the asymptotics of $X_n$ as $n$ tends to infinity under the particular but important assumption that the distribution of $I_n$ satisfies ${\mathbb P}\{I_n=k\}=p_k/(p_1+...+p_{n-1})$ for some given probability distribution $p_k={\mathbb P}\{ξ=k\}$, $k\in{\mathbb N}$. Depending on the tail behaviour of the distribution of $ξ$, several scalings for $X_n$ and corresponding limiting distributions come into play, among them stable distributions and distributions of exponential integrals of subordinators. The methods used in this paper are mainly probabilistic. The key tool is a coupling technique which relates the distribution of $X_n$ to a random walk, which explains, for example, the appearance of the Mittag-Leffler distribution in this context. The results are applied to describe the asymptotics of the number of collisions for certain beta-coalescent processes.

研究动机与目标

• 理解状态空间为 $ \mathbb{N} $ 且吸收态为 1 的死亡马尔可夫链中吸收时间 $ X_n $ 的渐近分布。
• 在 $ \mathbb{P}(I_n = k) = p_k / (p_1 + \cdots + p_{n-1}) $ 的假设下，刻画 $ X_n $ 的极限行为，其中 $ p_k = \mathbb{P}(\xi = k) $。
• 建立 $ X_n $ 的弱收敛结果，识别在何种条件下其收敛于稳定分布或 Mittag-Leffler 分布，取决于 $ \xi $ 的尾部性质。
• 将结果应用于 $ \beta(a,1) $-coalescent 过程中的碰撞次数，特别是 $ 0 < a < 2 $ 的情形。

提出的方法

• 使用耦合技术将 $ X_n $ 的分布与随机游动关联，从而应用随机过程中的极限定理。
• 采用随机递推 $ X_n \overset{d}{=} X_{n-I_n} + 1 $，其中 $ I_n $ 独立于 $ X_2, \ldots, X_{n-1} $，且 $ \mathbb{P}(I_n = k) \propto p_k $。
• 运用无限可分性与子调和函数的工具，特别是子调和函数的指数积分，推导极限分布。
• 利用 $ \alpha $-稳定分布的特征函数刻画弱极限，对 $ \alpha \in [1,2] $ 给出显式形式。
• 在 $ \xi $ 的不同矩条件假设下，建立弱大数定律与类似中心极限定理的结果。
• 通过将 $ X_n $ 的递推结构与碰撞时间分布关联，将结果应用于 $ \Lambda $-coalescent 过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，死亡马尔可夫链的吸收时间 $ X_n $ 满足弱大数定律？
• RQ2 当归一化吸收时间 $ (X_n - b_n)/a_n $ 弱收敛于非退化极限时，其极限分布为何？
• RQ3 跳跃分布 $ \xi $ 的尾部特性如何影响 $ X_n $ 的极限行为？
• RQ4 这些结果能否应用于共性过程，特别是 $ \beta(a,1) $-coalescents，以描述碰撞次数的渐近行为？
• RQ5 当 $ I_n $ 对 $ \xi $ 的收敛速率较慢，特别是当 $ \mathbb{E}\xi = \infty $ 时，$ X_n $ 的极限行为如何变化？

主要发现

• 若 $ \sum_{m=1}^n \sum_{k=m}^\infty p_k \sim L(n) $，其中 $ L $ 为缓慢变化函数，则 $ X_n / \mathbb{E}X_n \overset{P}{\to} 1 $，且 $ \mathbb{E}X_n \sim n / L(n) $。
• 当 $ \mathbb{E}\xi = m < \infty $ 时，有 $ \mathbb{E}X_n \sim n/m $，且 $ X_n $ 满足弱大数定律，即 $ X_n / (n/m) \overset{P}{\to} 1 $。
• 当 $ \sigma^2 = \mathrm{Var}(\xi) < \infty $ 时，$ (X_n - n/m)/a_n \Rightarrow \mu_2 $，其中 $ \mu_2 $ 为正态分布，且 $ a_n = (m^{-3} C^{-1} \sigma^2 n)^{1/2} $。
• 当 $ \sigma^2 = \infty $ 且 $ \sum_{k=1}^n k^2 p_k \sim n^{2-\alpha} L(n) $ 时，$ (X_n - n/m)/a_n \Rightarrow \mu\_\alpha $，其中 $ \mu_\alpha $ 为 $ \alpha \in [1,2) $ 的 $ \alpha $-稳定分布。
• 对于 $ \beta(a,1) $-coalescent 且 $ 0 < a < 1 $ 的情形，$ X_n $ 满足 $ (X_n - n(\alpha - 1)) / (n^{1/\alpha}) \Rightarrow \mu_\alpha $，其中 $ \alpha = 2 - a \in (1,2) $。
• 当 $ a \geq 2 $ 时，该方法失效，因为关键假设 $ \mathbb{P}(I_n = k) \propto p_k / \sum_{j=1}^{n-1} p_j $ 不再成立。