[论文解读] On a rationality question in the Grothendieck ring of varieties

Ene Esnault, Eckart Viehweg|ArXiv.org|Aug 16, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了代数簇的格罗滕迪克环中的有理性问题，重点关注有限群作用下向量空间商的性质。研究证明，当有限阿贝尔群 $ G $ 作用于 $ K $-向量空间 $ V $，其中 $ K/k $ 是伽罗瓦扩张且伽罗瓦群为 $ \Gamma $，且 $ k $ 包含所有 $ |G| $-次单位根时，有 $[V/G] = \mathbb{L}^{\dim_K V} $ 在 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 中成立，推广了吕仁加的结果，并凸显了单位根在下降理论中的必要性。

ABSTRACT

This is a small note meant to be published in a Conference Proceedings. We discuss elementary rationality questions in the Grothendieck ring of varieties for the quotient of a finite dimensional vector space over a characteristic 0 field by a finite group. Part of it reproduces the content of a letter dated September 27, 2008 addressed to Johannes Nicaise

研究动机与目标

• 理解在格罗滕迪克环 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 中，商簇 $ V/G $ 的类何时为有理的，即等于莱夫谢茨类 $ \mathbb{L} $ 的幂次。
• 将吕仁加关于阿贝尔群作用的结果推广至基域的非平凡伽罗瓦扩张情形。
• 研究当基域缺乏足够多单位根时，格罗滕迪克环中下降失败的原因。
• 阐明群作用在域与向量空间上如何决定 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 中类的性质。

提出的方法

• 利用通过切割关系和乘法结构定义的格罗滕迪克环 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $，研究商簇的类。
• 应用弱分解定理及同构 $ K_0(\mathrm{Var}_k)/\langle \mathbb{L} \rangle \cong \mathbb{Z}[SB] $ 分析关系。
• 采用下降技术与平展上同调研究 $ G $-主丛及扎里斯基局部平凡纤维丛。
• 使用平坦下降证明某些纤维丛为扎里斯基局部平凡，从而实现在 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 中的类分解。
• 对 $ V $ 作为 $ G $-模的不可约因子个数进行归纳。
• 分析 $ G $ 在 $ \mathrm{Spec}\,K $ 上的作用，并证明当 $ G $ 通过保持 $ T = Y/X $ 的循环矩阵作用时，该作用是平凡的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，对于有限阿贝尔群 $ G $ 作用于 $ K $-向量空间 $ V $，有 $[V/G] = \mathbb{L}^{\dim_K V} $ 在 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 中成立？
• RQ2 当缺少单位根时，$[V/G] $ 的有理性是否仍与基域的限制保持兼容，特别是当基域不包含足够多单位根时？
• RQ3 基域上的伽罗瓦作用在决定 $ V/G $ 在格罗滕迪克环中的类时起什么作用？
• RQ4 当 $ k $ 不包含所有 $ |G| $-次单位根时，下降失败的表现形式是什么？
• RQ5 当基域上的作用非平凡时，类 $[V/G] $ 是否可表示为更简单类的组合？

主要发现

• 对于有限阿贝尔群 $ G $ 及其商映射 $ G \to \Gamma $，若 $ G $ 作用于 $ K $-向量空间 $ V $，其中 $ K/k $ 是伽罗瓦扩张且伽罗瓦群为 $ \Gamma $，且 $ k $ 包含所有 $ |G| $-次单位根，则在 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 中有 $[V/G] = \mathbb{L}^{\dim_K V} $。
• 条件 $ k $ 包含所有 $ |G| $-次单位根是必要的；若无此条件，公式不成立，如例 1.2 所示，在 $ K_0(\mathrm{Var}_{\mathbb{Q}}) $ 中有 $ \mathbb{L}^2 \neq [V/G] $。
• 当 $ G $ 通过保持 $ T = Y/X $ 的矩阵作用时，$ G $ 在 $ \mathrm{Spec}\,K $ 上的作用是平凡的，这对类的分解至关重要。
• 差值 $[V] - [V/G] $ 可分解为 $ (1 + [\mathbb{G}_m] \cdot [\mathrm{Spec}\,K]) \cdot ([W] - [W/G]) $，从而实现对 $ V $ 的不可约因子个数的归纳。
• 商映射 $ (D^\times \times_k W)/G \to (\mathrm{Spec}\,K \times_k W)/G $ 是扎里斯基局部平凡的 $ \mathbb{G}_m $-纤维丛，因此 $ [(D^\times \times_k W)/G] = [\mathbb{G}_m] \cdot [\mathrm{Spec}\,K] \cdot [W/G] $。
• 在 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 中，类 $[U^{(2)}/G] $ 等于 $[U^{(2)}] $，因为 $ \mathbb{P}(U)/G \cong \mathbb{P}^1_k $ 且 $ G $ 在 $ \mathrm{Spec}\,K $ 上的作用是平凡的。