[论文解读] On a remarkable semigroup of homomorphisms with respect to free multiplicative convolution

Serban T. Belinschi, Alexandru Nica|ArXiv.org|Mar 10, 2007

Random Matrices and Applications参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文引入了一类在 $\mathbb{R}$ 上博雷尔概率测度空间上的新颖变换半群，记为 $\mathbb{B}_t$，其通过自由加法卷积与布尔卷积定义。证明了 $\mathbb{B}_t$ 在复合运算下构成连续半群，并作为自由乘法卷积的同态；且 $\mathbb{B}_1$ 与布尔 Bercovici-Pata 双射一致，从而确立了对所有 $t \geq 1$ 和 $\mu \in \mathcal{M}$，有 $\mathbb{B}_t(\mu)$ 是 $\boxplus$-无限可分的。这为自由概率运算与无限可分性之间建立了新的联系。

ABSTRACT

Let M denote the space of Borel probability measures on the real line. For every nonnegative t we consider the transformation $\mathbb B_t : M o M$ defined for any given element in M by taking succesively the the (1+t) power with respect to free additive convolution and then the 1/(1+t) power with respect to Boolean convolution of the given element. We show that the family of maps {\mathbb B_t|t\geq 0} is a semigroup with respect to the operation of composition and that, quite surprisingly, every $\mathbb B_t$ is a homomorphism for the operation of free multiplicative convolution. We prove that for t=1 the transformation $\mathbb B_1$ coincides with the canonical bijection $\mathbb B : M o M_{inf-div}$ discovered by Bercovici and Pata in their study of the relations between infinite divisibility in free and in Boolean probability. Here M_{inf-div} stands for the set of probability distributions in M which are infinitely divisible with respect to free additive convolution. As a consequence, we have that $\mathbb B_t(μ)$ is infinitely divisible with respect to free additive convolution for any for every $μ$ in M and every t greater than or equal to one. On the other hand we put into evidence a relation between the transformations $\mathbb B_t$ and the free Brownian motion; indeed, Theorem 4 of the paper gives an interpretation of the transformations $\mathbb B_t$ as a way of re-casting the free Brownian motion, where the resulting process becomes multiplicative with respect to free multiplicative convolution, and always reaches infinite divisibility with respect to free additive convolution by the time t=1.

研究动机与目标

• 构造一个在博雷尔概率测度空间上的连续单参数变换族 $\mathbb{B}_t$，使其保持自由概率中的关键运算。
• 建立 $\mathbb{B}_t$ 在复合运算下构成半群，并作为自由乘法卷积 $\boxtimes$ 的同态。
• 识别 $\mathbb{B}_1$ 为布尔 Bercovici-Pata 双射，从而将该变换与 $\boxplus$-无限可分性理论联系起来。
• 探讨 $\mathbb{B}_t$ 与自由布朗运动的关系，表明该过程在 $\boxtimes$ 下变为乘法性，并在 $t=1$ 时达到 $\boxplus$-无限可分性。

提出的方法

• 对 $\mu \in \mathcal{M}$ 和 $t \geq 0$，定义 $\mathbb{B}_t(\mu) = \left(\mu^{\boxplus(1+t)}\right)^{\uplus(1/(1+t))}$，使用自由加法卷积 $\boxplus$ 和布尔卷积 $\uplus$。
• 证明 $\mathbb{B}_s \circ \mathbb{B}_t = \mathbb{B}_{s+t}$，从而确立在复合运算下的半群性质。
• 证明对 $\mu \in \mathcal{M}$，$\nu \in \mathcal{M}_+$，有 $\mathbb{B}_t(\mu \boxtimes \nu) = \mathbb{B}_t(\mu) \boxtimes \mathbb{B}_t(\nu)$，确认其对 $\boxtimes$ 的同态性。
• 证明 $\mathbb{B}_1$ 与标准布尔 Bercovici-Pata 双射 $\mathbb{B}: \mathcal{M} \to \mathcal{M}_{\mathrm{inf-div}}$ 一致，从而将变换与无限可分性联系起来。
• 利用半群与同态性质，证明对所有 $t \geq 1$ 和 $\mu \in \mathcal{M}$，有 $\mathbb{B}_t(\mu)$ 是 $\boxplus$-无限可分的。
• 将 $\mathbb{B}_t$ 解释为自由布朗运动的重参数化形式，其在 $\boxtimes$ 下变为乘法性，并在 $t=1$ 时达到 $\boxplus$-无限可分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个在 $\mathcal{M}$ 上的连续变换半群，其对自由乘法卷积 $\boxtimes$ 是同态？
• RQ2 这样的半群能否仅通过自由加法卷积与布尔卷积构造？
• RQ3 变换 $\mathbb{B}_1$ 是否等价于布尔 Bercovici-Pata 双射？
• RQ4 对所有 $t \geq 1$ 和 $\mu \in \mathcal{M}$，是否有 $\mathbb{B}_t(\mu)$ 达到 $\boxplus$-无限可分性？
• RQ5 变换 $\mathbb{B}_t$ 与自由布朗运动的动力学有何关系？

主要发现

• 变换 $\mathbb{B}_t(\mu) = \left(\mu^{\boxplus(1+t)}\right)^{\uplus(1/(1+t))}$ 在复合运算下构成连续半群：对所有 $s,t \geq 0$，有 $\mathbb{B}_s \circ \mathbb{B}_t = \mathbb{B}_{s+t}$。
• $\mathbb{B}_t$ 是自由乘法卷积的同态：对 $\mu \in \mathcal{M}$，$\nu \in \mathcal{M}_+$，有 $\mathbb{B}_t(\mu \boxtimes \nu) = \mathbb{B}_t(\mu) \boxtimes \mathbb{B}_t(\nu)$。
• $\mathbb{B}_1$ 与布尔 Bercovici-Pata 双射 $\mathbb{B}$ 一致，该双射将 $\mathcal{M}$ 双射映射到 $\boxplus$-无限可分测度集 $\mathcal{M}_{\mathrm{inf-div}}$。
• 对任意 $\mu \in \mathcal{M}$ 和 $t \geq 1$，测度 $\mathbb{B}_t(\mu)$ 是 $\boxplus$-无限可分的，这是由于 $\mathbb{B}_1$ 是到 $\mathcal{M}_{\mathrm{inf-div}}$ 的双射且满足半群性质的结果。
• $\mathbb{B}_t$ 提供了自由布朗运动的重参数化形式，其在 $\boxtimes$ 下变为乘法性，且 $\mathbb{B}_1(\mu)$ 对任意 $\mu \in \mathcal{M}$ 达到 $\boxplus$-无限可分性。
• 对任意满足 $\phi(\mu) < \infty$ 的 $\mu \in \mathcal{M}$，存在 $\nu \in \mathcal{M}$，使得对任意 $t > 0$，有 $\mathbb{B}_t(\nu) = \mu$，这意味着对 $t > 0$，$\mathbb{B}_t$ 在其像上是满射。