[论文解读] On a response formula and its interpretation

Christian Maes, Bram Wynants|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文通过引入依赖于时间的势能 $V$ 与小幅度 $h_t$ 的扰动，将涨落-耗散定理推广至非平衡马尔可夫跳跃过程。关键贡献在于，在非平衡稳态下，建立了一个展现对偶对称性的线性响应关系，该关系可通过动力学涨落理论中的逃逸率泛函 $I(\mu)$ 直接解释，从而将响应与占据时间的典型偏差联系起来。

ABSTRACT

We present a physically inspired generalization of equilibrium response formulae, the fluctuation-dissipation theorem, to Markov jump processes possibly describing interacting particle systems out-of-equilibrium. Here, the time-dependent perturbation adding a potential V with small amplitude h(t) changes the rates W(x,y) for the transition x --> y into W_t(x,y) = W(x,y) exp {h(t)[bV(y)-aV(x)]} as first considered by Diezemann; a,b are constants. We observe that the linear response relation shows a reciprocity symmetry in the nonequilibrium stationary regime and we interpret the connection with dynamical fluctuation theory.

研究动机与目标

• 将平衡态下的涨落-耗散定理推广至马尔可夫跳跃过程中的非平衡稳态。
• 研究在由势能 $V$ 以小幅度 $h_t$ 建模的时间依赖扰动下，系统的线性响应。
• 在非平衡响应函数中建立对偶对称性，推广平衡态下的关系。
• 将响应形式化与动力学涨落理论联系起来，特别是通过大偏差泛函 $I(\mu)$。
• 从无扰动动力学中经验占据测度的涨落概率角度解释响应。

提出的方法

• 通过 $W_t(x,y) = W(x,y) \exp[h_t(bV(y) - aV(x))]$ 的方式对跃迁率施加时间依赖扰动，推广了 Diezemann 的方法。
• 利用小参数 $h_t$ 的一阶微扰理论推导线性响应函数 $R_{QV}^{\text{eq}}(t,s)$。
• 应用伴随生成元 $L^*$ 和后向柯尔莫哥洛夫方程，将响应表示为时间演化可观测量的形式。
• 将非平衡响应与动力学涨落泛函 $I(\mu)$ 联系起来，其中 $I(\mu) = -\inf_g \sum_x \mu(x) \frac{Lg}{g}(x)$。
• 计算在恒定扰动 $V$ 下 $I(\mu)$ 的一阶修正，得到 $I(\mu) = -\frac{bh}{4} \sum_x \mu(x) LV(x) + o(h^2)$。
• 建立可观测量响应与无扰动动力学中罕见偏差概率之间的对偶关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平衡马尔可夫跳跃过程的线性响应如何依赖于时间依赖扰动 $h_t$ 和势能 $V$？
• RQ2 非平衡稳态响应函数中是否存在类似于平衡态的对偶对称性？
• RQ3 非平衡响应能否通过动力学涨落（特别是经验占据时间的大偏差概率）来解释？
• RQ4 响应函数与涨落泛函 $I(\mu)$ 中的逃逸率 $LV(x)$ 之间存在何种定量联系？
• RQ5 扰动诱导的稳态测度 $\mu$ 与无扰动动力学中同一测度的涨落概率之间有何关系？

主要发现

• 线性响应函数在非平衡稳态下展现出对偶对称性，推广了平衡态下的详细平衡条件。
• 对时间依赖扰动的响应表达为 $\langle Q(t)\rangle^h = \langle Q(t)\rangle_{\text{eq}} + \int_0^t ds\, h_s R_{QV}^{\text{eq}}(t,s) + o(h)$，其中 $R_{QV}^{\text{eq}}(t,s)$ 涉及伴随生成元 $L^*$。
• 响应公式中的第二项 $-b \sum_x \rho(x) V(x) L^* e^{(t-s)L} Q(x)$ 可解释为与广义逃逸率的相关性，从而将响应与动力学涨落联系起来。
• 动力学涨落泛函 $I(\mu)$ 满足 $I(\mu) = -\frac{bh}{4} \sum_x \mu(x) LV(x) + o(h^2)$，表明响应与扰动下逃逸率的变化直接相关。
• 诱导出稳态测度 $\mu$ 的势能 $V$ 恰好是使 $\mu$ 成为无扰动动力学中典型涨落的势能，从而在响应与涨落之间建立了对偶关系。
• 该形式化证实，系统对扰动的响应在数量上与在无扰动过程中观察到相同稳态作为罕见涨落的概率直接相关。