[论文解读] On a sequence related to the Josephus problem

Ralf Stephan|ArXiv.org|May 25, 2003

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文建立了由部分积的互补因数间差值最小化导出的递归整数序列 $ a_n $ 与参数 $ q = 3 $ 的约瑟夫问题之间的联系。证明了当 $ n > 2 $ 时 $ a_n = 2^{b_n} $，其中 $ b_n $ 遵循与约瑟夫问题相关的递推关系，并将增长常数 $ c \approx 0.3605 $ 与约瑟夫问题的通用常数 $ K(3) $ 关联起来，为 $ a_n $ 提供了渐近洞察。

ABSTRACT

In this short note, we show that an integer sequence defined on the minimum of differences between divisor complements of its partial products is connected with the Josephus problem (q=3).

研究动机与目标

• 研究通过最小化部分积 $ p_n = \prod_{k=0}^{n-1} a_k $ 的互补因数间绝对差值而定义的递归序列 $ a_n $。
• 建立 $ a_n $ 与另一序列 $ b_n $ 之间的结构与函数关系，后者通过上取整求和递推定义。
• 将 $ a_n $ 的渐近行为与参数 $ q = 3 $ 的约瑟夫问题联系起来，特别是通过增长常数 $ c $。
• 探讨常数 $ c \approx 0.3605 $ 与已知为非闭式但数值上重要的约瑟夫问题通用常数 $ K(3) $ 之间的关系。

提出的方法

• 将 $ a_n $ 递归定义为部分积 $ p_n $ 的所有因数 $ d_j $ 中绝对差值 $ |d_j - p_n/d_j| $ 的最小值，其中 $ a_0 = 4 $。
• 通过递推关系 $ b_1 = 1 $，$ b_n = \left\lceil \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} b_k \right\rceil $ 定义 $ b_n $，该关系决定了 $ a_n = 2^{b_n} $ 中的指数。
• 使用引理1证明 $ \sigma(3 \cdot 2^k) = 2k + 2 $，即 $ 3 \cdot 2^k $ 的因数个数，从而确立了因数计数结构。
• 使用引理2证明 $ \delta(3 \cdot 2^k) = 2^{\lceil k/2 \rceil} $，即 $ 3 \cdot 2^k $ 的互补因数间最小绝对差值，这是递归构造的基础。
• 确立基础情形 $ \delta(p_3 = 48) = 2 $，确保最小差值大于1，从而验证了 $ a_n $ 的递归定义的非平凡性。
• 利用已知的 $ b_n $ 渐近性质，证明 $ b_n \sim c \cdot (3/2)^n - 1/2 $，其中 $ c \approx 0.3605 $，并将 $ c $ 与 $ K(3) $（即 $ q = 3 $ 时的约瑟夫问题通用常数）关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过部分积的互补因数间最小差值定义的序列 $ a_n $，与已知的数论或组合序列有何关联？
• RQ2 序列 $ a_n $ 与递推关系 $ b_n = \left\lceil \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} b_k \right\rceil $ 之间存在何种函数关系？$ a_n = 2^{b_n} $ 是否对所有 $ n > 2 $ 成立？
• RQ3 在 $ b_n $ 的渐近公式中，增长常数 $ c \approx 0.3605 $ 是否能用约瑟夫问题的通用常数 $ K(3) $ 表示？
• RQ4 数 $ 3 \cdot 2^k $ 在何种因数结构中起作用，使得其最小差值 $ \delta(3 \cdot 2^k) = 2^{\lceil k/2 \rceil} $ 成立？
• RQ5 为何与约瑟夫问题相关的 $ b_n $ 的递归结构，会生成与 $ a_n $ 中 2 的幂乘法行为相同的指数模式？

主要发现

• 对所有 $ n > 2 $，序列 $ a_n $ 满足 $ a_n = 2^{b_n} $，其中 $ b_n $ 由递推关系 $ b_1 = 1 $，$ b_n = \left\lceil \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} b_k \right\rceil $ 定义，确立了直接的指数关联。
• 数 $ 3 \cdot 2^k $ 的因数个数为 $ \sigma(3 \cdot 2^k) = 2k + 2 $，通过数学归纳法证明，该结果支持了 $ \delta(m) $ 计算中的因数枚举。
• 数 $ 3 \cdot 2^k $ 的互补因数间最小绝对差值为 $ \delta(3 \cdot 2^k) = 2^{\lceil k/2 \rceil} $，通过排序因数列表并观察交替差值模式得出。
• 基础情形 $ \delta(p_3 = 48) = 2 $ 确认最小差值大于1，验证了 $ a_n $ 的递归定义的非平凡性。
• $ b_n $ 的渐近增长为 $ b_n = \left\lceil c \cdot (3/2)^n - 1/2 \right\rceil $，其中 $ c \approx 0.36050455619661495910154466 $，与约瑟夫递推的已知结果一致。
• 数值证据与先前研究表明 $ c = \frac{2}{9} K(3) $，其中 $ K(3) $ 是 $ q = 3 $ 时约瑟夫问题的通用常数，尽管其闭式表达仍未知。