[论文解读] On a Stochastic Representation Theorem for Meyer-measurable Processes and its Applications in Stochastic Optimal Control and Optimal Stopping

Peter Bank, David Beßlich|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了Meyer可测过程的随机表示定理，推广了先前的工作，允许存在原子的随机测度和任意Meyer-σ-代数。证明了过程$ L $的存在性与极大性，使得任意$ \Lambda $-可测过程$ X $在每个$ \Lambda $-停时$ S $处均具有表示式$ X_S = \mathbb{E}\left[\int_{[S,\infty)} g_t(\sup_{v\in[S,t]} L_v) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}^\Lambda_S\right] $，并将其应用于不可逆投资与分停时下的最优停止问题。

ABSTRACT

In this paper we study a representation problem first considered in a simpler version by Bank and El Karoui [2004]. A key ingredient to this problem is a random measure $μ$ on the time axis which in the present paper is allowed to have atoms. Such atoms turn out to not only pose serious technical challenges in the proof of the representation theorem, but actually have significant meaning in its applications, for instance, in irreversible investment problems. These applications also suggest to study the problem for processes which are measurable with respect to a Meyer-$σ$-field that lies between the predictable and the optional $σ$-field. Technically, our proof amounts to a delicate analysis of optimal stopping problems and the corresponding optimal divided stopping times and we will show in a second application how an optimal stopping problem over divided stopping times can conversely be obtained from the solution of the representation problem.

研究动机与目标

• 将Bank与El Karoui（2004）的随机表示定理推广至允许存在原子的随机测度和任意Meyer-σ-代数。
• 解决测度$ \mu $中存在原子所引发的技术挑战，这些挑战会破坏标准最优停止论证，因此需要使用分停时。
• 建立解过程$ L $的极大性，确保其在零过程集上支配所有其他$ \Lambda $-可测解。
• 在$ \mu $中存在原子时，表示原子对应关键风险评估时刻的不可逆投资问题中展示应用。
• 证明求解表示问题可等价于求解分停时下的广义最优停止问题，为Snell上确界方法提供替代方案。

提出的方法

• 证明依赖于对$ \Lambda $-停时上最优停止问题的精细分析，特别是辅助问题$ Y_S^\ell = \mathrm{ess\,sup}_{T \in \mathcal{S}^\Lambda([S,\infty))} \mathbb{E}\left[ X_T + \int_{[S,T)} g_t(\ell) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}_S^\Lambda \right] $。
• 解过程$ L $被构造为$ L_t = \sup\{ \ell \in \mathbb{R} \mid X_t = Y_t^\ell \} $，将表示式与最优停止问题的值函数联系起来。
• 使用分停时——即一个停时与三个不相交集合的四元组——来处理当$ \mu $具有原子时运行成本的不连续性。
• 该构造利用了$ \Lambda $-可测过程的性质以及Meyer-σ-代数的结构，其介于可预测与可选$ \sigma $-代数之间。
• 通过证明任何其他解几乎必然不超过$ L $（在零过程集上），从而证明了$ L $的极大性，这一结果强于Bank与El Karoui（2004）在路径正则性假设下的唯一性结果。
• 本文建立了在$ \Lambda $-停时与分停时上最优停止问题的等价性，证明了$ \sup_{\tau \in \mathcal{S}^{\Lambda,\mathrm{div}}} \mathbb{E}[X_\tau + \int_{[0,\tau)} g_t(\ell) \mu(dt)] = \sup_{T \in \mathcal{S}^\Lambda} \mathbb{E}[X_T + \int_{[0,T)} g_t(\ell) \mu(dt)] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当随机测度$ \mu $具有原子时，是否可将随机表示定理扩展至Meyer可测过程，即使这会导致运行成本出现不连续？
• RQ2 如何处理$ \mu $中存在原子的最优停止问题，特别是在标准最优停止时间不存在时？
• RQ3 分停时在$ \mu $具有原子时表征解中的作用是什么，它们与表示问题有何关联？
• RQ4 Meyer-σ-代数$ \Lambda $的选择如何影响解过程$ L $的存在性与极大性？
• RQ5 表示问题的解能否用于求解分停时下的广义最优停止问题，反之亦然？

主要发现

• 主定理建立了$ \Lambda $-可测过程$ L $的存在性，使得即使$ \mu $具有原子，对每个$ \Lambda $-停时$ S $，均有$ X_S = \mathbb{E}\left[\int_{[S,\infty)} g_t(\sup_{v\in[S,t]} L_v) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}_S^\Lambda \right] $成立。
• 解$ L $具有极大性：任何其他$ \Lambda $-可测解几乎必然不超过$ L $（在零过程集上），这一结果强于Bank与El Karoui（2004）在路径正则性假设下的唯一性结果。
• 本文证明了在$ \Lambda $-停时与分停时上最优停止问题的值相等，建立了两种表述之间的等价性。
• 过程$ L $被显式构造为$ L_t = \sup\{ \ell \in \mathbb{R} \mid X_t = Y_t^\ell \} $，其中$ Y^\ell $是辅助最优停止问题的解。
• 在不可逆投资应用中，$ \sup_{v\in[0,t]} L_v $给出了最优投资策略，且$ \mu $中的原子对应关键风险评估时刻。
• 证明揭示了$ \tilde{\tau}_\ell = (T_{0,\ell}, \emptyset, \{L_{T_{0,\ell}} \geq \ell\}, \{L_{T_{0,\ell}} < \ell\}) $是一个最优分停时，且$ T_{0,\ell} = T_\ell $ a.s.，从而将表示式与最优停时选择联系起来。