[论文解读] On a symmetric congruence and its applications

M. Z. Garaev, A. A. Karatsuba|ArXiv.org|Mar 8, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文建立了关于模 $ m $ 的对称同余式解数的渐近公式，涉及四个变量被限制在特定剩余类集合中。该结果使得对含指数函数的双重三角和的新界得以获得，并显著改进了模 $ m $ 乘法表像集大小的估计，表明长度为 $ \sim \Delta m^{1/2} \sqrt{m/\phi(m)} \log m $ 的区间可覆盖 $ (1+O(\Delta^{-1}))m $ 个剩余类，该结果在乘法表问题的例外集研究中具有应用价值。

ABSTRACT

For a large integer $m,$ we obtain an asymptotic formula for the number of solutions of a certain congruence modulo $m$ with four variables, where the variables belong to special sets of residue classes modulo $m.$ This formula are applied to obtain new information on the exceptional set of the multiplication table problem in a residue ring modulo $m$ and a new bound for a double trigonometric sum with an exponential function.

研究动机与目标

• 推导模 $ m $ 对称同余式 $ v_1 y_1 \equiv v_2 y_2 \pmod{m} $ 的解数渐近公式，其中变量属于指定的剩余类集合。
• 将该公式应用于获得模素数的指数函数双重三角和的改进估计。
• 研究 $ \mathbb{Z}_m $ 中乘法表像集的大小，特别是 $ x $ 和 $ y $ 在区间内时 $ xy \mod m $ 值的密度。

提出的方法

• 使用特征和技巧与除数函数估计，推导同余式 $ v_1 y_1 \equiv v_2 y_2 \pmod{m} $ 的解数 $ J $ 的渐近公式，其中 $ v_1, v_2 \in \mathcal{V} $ 且 $ y_1, y_2 \in [S+1, S+L] $。
• 将主公式应用于控制形如 $ \sum_{x \in \mathcal{X}} \left| \sum_{y=K+1}^{K+N} \gamma(y) \mathbf{e}_p(a \lambda^{xy}) \right| $ 的指数和，利用 Weil 型界与平均值论证。
• 通过双重计数与容斥原理，利用解数估计集合 $ \{ qy \mod m \} $ 的大小，其中 $ q \leq m^{1/2} $，$ y \in [S+1, S+\Delta m^{1/2} \sqrt{m/\phi(m)} \log m] $。
• 证明集合 $ \{ xy^{-1} \mod p \} $ 在长度为 $ \Delta p^{1/2} $ 的区间内覆盖 $ (1+O(\Delta^{-2}))p $ 个剩余类，利用加法特征的正交性与指数和非零性。
• 通过分析乘积 $ xy \mod m $ 在结构化区间上的分布，建立乘法表问题中例外集的界。
• 利用乘法子群结构与特征和估计，改进此前关于 $ \mathbb{Z}_p $ 中乘积集密度的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ v_1, v_2 \in \mathcal{V} $，$ y_1, y_2 \in [S+1, S+L] $，对称同余式 $ v_1 y_1 \equiv v_2 y_2 \pmod{m} $ 的解数渐近数量是多少？
• RQ2 该解数估计如何用于控制模素数 $ p $ 的双重三角和（含指数函数）？
• RQ3 当 $ x $ 和 $ y $ 的区间长度最短为多少时，集合 $ \{ xy \mod p \} $ 可覆盖 $ \mathbb{Z}_p $ 的正密度剩余类？
• RQ4 当 $ q \leq m^{1/2} $ 时，集合 $ \{ qy \mod m \} $ 的区间长度需多大，才能覆盖模 $ m $ 下的 $ (1+O(\Delta^{-1}))m $ 个剩余类？
• RQ5 能否以 $ \Delta $ 表示区间长度为 $ \Delta p^{1/2} $ 的 $ x/y \mod p $ 的比值映射像集大小？

主要发现

• 同余式 $ v_1 y_1 \equiv v_2 y_2 \pmod{m} $ 的解数 $ J $ 满足 $ J = \frac{|\mathcal{V}|^2 L^2}{m} + |\mathcal{V}|L - \frac{|\mathcal{V}|L^2}{m} + O\left( \frac{m^2 \log^2 m}{\phi(m)} \right) $，其中 $ \mathcal{V} $ 是与 $ m $ 互素且不超过 $ m^{1/2} $ 的素数集合。
• 建立了双重三角和的新界：$ \left| \sum_{x=L+1}^{L+M} \sum_{y=K+1}^{K+N} \alpha_x \beta_y \mathbf{e}_p(ag^{xy}) \right| \ll (NM)^{5/8} p^{5/8+o(1)} $，当 $ N, M \geq p^{5/6+\varepsilon} $ 时成立。
• 集合 $ \{ xy \mod p : 1 \leq x,y \leq p^{1/2} (\log p)^{2+\varepsilon} \} $ 模 $ p $ 包含 $ (1+o(1))p $ 个剩余类，证实了经典乘法表猜想的弱形式。
• 当 $ \Delta = \Delta(p) \to \infty $ 时，集合 $ \{ qy \mod p : 1 \leq q \leq p^{1/2}, \, 1 \leq y \leq \Delta p^{1/2} \log p \} $ 模 $ p $ 包含 $ (1+O(\Delta^{-1}))p $ 个剩余类，表明该范围近乎最优。
• 集合 $ \{ xy^{-1} \mod p : N+1 \leq x \leq N+\Delta p^{1/2}, \, S+1 \leq y \leq S+\Delta p^{1/2} \} $ 模 $ p $ 包含 $ (1+O(\Delta^{-2}))p $ 个剩余类，改进了此前对比值集边界的估计。
• 该方法给出了乘法表问题中例外集的精确界：当 $ q \leq m^{1/2} $，$ y \leq \Delta m^{1/2} \sqrt{m/\phi(m)} \log m $ 时，集合 $ \{ qy \mod m \} $ 的像覆盖 $ (1+O(\Delta^{-1}))m $ 个类，且当 $ \Delta \to \infty $ 时成立。