[论文解读] On a weighted Trudinger-Moser type inequality on the whole space and related maximizing problem

Van Hoang Nguyen, Futoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 10

一句话总结

本文在全空间 ℝᴺ 上，於完整的索伯列夫范数約束下，建立了加權的 Trudinger-Moser 不等式，利用函數變換與 Adimurthi 和 Yang 所建立的奇異 Trudinger-Moser 不等式。主要結果為臨界指數 αₙ,₆ 的精確性，以及當 α < αₙ,₆ 時極大化函數的存在性，而當 α 較小時則證明其不存在。

ABSTRACT

In this paper, we establish a weighted Trudinger-Moser type inequality with the full Sobolev norm constraint on the whole Euclidean space. Main tool is the singular Trudinger-Moser inequality on the whole space recently established by Adimurthi and Yang, and a transformation of functions. We also discuss the existence and non-existence of maximizers for the associated variational problem.

研究动机与目标

• 在全空間 ℝᴺ 上，於完整的索伯列夫範數約束下，建立加權的 Trudinger-Moser 型不等式。
• 研究相關變分問題中極大化函數的存在性與非存在性。
• 確定加權不等式中本質上有限的上確界之臨界指數 αₙ,₆ 的精確值。
• 將已知的 Trudinger-Moser 不等式結果從有界區域推廣至帶權重 |x|⁻ᵝ 的 ℝᴺ 無界區域。

提出的方法

• 以 Adimurthi 和 Yang 最近在 ℝᴺ 上建立的奇異 Trudinger-Moser 不等式作為基礎工具。
• 應用函數變換，將加權不等式轉化為已知形式，進而分析臨界指數。
• 使用截斷指數函數 Φₙ(t) = eᵗ − ∑ⱼ₌₀ⁿ⁻² tʲ/j! 來定義變分問題中的泛函。
• 使用一列 Moser 類型測試函數 (uₙ) 來分析爆破行為，並估計臨界指數附近泛函的增長。
• 應用尺度變換與漸近估計，推導出上確界泛函的上下界。
• 結合帶權重 |x|⁻ᵞ 的 Lᴺ 範數與梯度範數的估計，以控制約束中的完整索伯列夫範數。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全空間 ℝᴺ 上，於完整索伯列夫範數約束下，加權 Trudinger-Moser 上確界有限的臨界指數 αₙ,₆ 的精確值為何？
• RQ2 在 ℝᴺ 上的加權 Trudinger-Moser 不等式中，上確界在何種條件下能達到最大值？
• RQ3 權重 |x|⁻ᵝ 的存在如何影響變分問題中極大化函數的存在性？
• RQ4 當 α 較小時，上確界是否可能既有限又無法達到？若是，原因為何？

主要发现

• 在 ℝᴺ 上，於完整索伯列夫範數約束下，加權 Trudinger-Moser 不等式有限，當且僅當 α ≤ αₙ,₆，其中 αₙ,₆ = ((N−β)/N)αₙ。
• 當 α < αₙ,₆ 時，上確界可達，表示變分問題中存在極大化函數。
• 當 α > 0 足夠小時，上確界不可達，這是因為退化序列所導致的非緊性。
• 不等式中的最佳常數滿足漸近估計：supₐ∈(0,αₙ,₆) (1/(1−(α/αₙ,₆)ᴺ⁻¹))⁽ᴺ⁻ᵇ⁾⁽ᴺ⁻ᵞ⁾ ≤ C ⋅ Ã(N,α,β,γ)，其中 C > 0。
• 在 αₙ,₆ 附近，泛函的爆破速率受因子 (1−(α/αₙ,₆)ᴺ⁻¹)⁻⁽ᴺ⁻ᵇ⁾⁽ᴺ⁻ᵞ⁾ 控制，顯示當 α → αₙ,₆⁻ 時發散。
• 當 N ≥ 3 時，極大化函數在 α ∈ (0, αₙ,₆) 內存在；當 N = 2 時，極大化函數在 α ∈ (α*, αₙ) 內存在，其中 α* > 0，且 α* 與 Gagliardo-Nirenberg 不等式相關。