[论文解读] On abelian 2-categories and derived 2-functors

Teimuraz Pirashvili|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过构建一个2-环上的2-模2-范畴，建立了阿贝尔2-范畴的导出2-函子理论，证明此类2-范畴的导出范畴是三角范畴，且与经典阿贝尔范畴的导出范畴等价。关键结果将范畴群的二次上同调识别为2-模范畴中的Ext群。

ABSTRACT

This is an extended version of my earlier articel "Projective and injective objects in symmetric categorical groups. arXiv:1007.0121v1." Several new facts added, including the material on the derived 2-functors and the proof of the Gabriel-Mitchel theorem and the Morita theory for 2-rings.

研究动机与目标

• 为阿贝尔2-范畴发展导出2-函子理论，将经典同调代数推广至高阶范畴。
• 证明2-环上2-模2-范畴的导出范畴是三角范畴，且与经典阿贝尔范畴的导出范畴等价。
• 通过将范畴群的二次上同调与2-模范畴中的Ext群相等化，建立Ext函子的2-范畴类比。
• 证明范畴群G-模的2-范畴具有足够的内射对象，并与2-环上的模存在2-等价。
• 阐明阿贝尔2-范畴的底层范畴在2-等价下不保持不变，强调2-范畴不变量的必要性。

提出的方法

• 构建长度为1的链复形2-范畴 $\mathbf{A}^{[1]}_c$（度数0处为投射对象），证明当 $\mathbf{A}$ 具有足够投射时，该2-范畴为阿贝尔。
• 利用范畴群 $\mathbb{G}$ 的神经复形定义以 $\mathbb{G}$-模 $\mathbb{S}$ 值的2-上链复形 $C^n(\mathbb{G}, \mathbb{S})$，形成2-上同调结构。
• 将二次上同调 $\mathcal{H}^*(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ 定义为该2-上链复形的上同调。
• 从 $\mathbb{S}$ 到从 $\mathbb{G}$ 到 $\mathbb{S}$ 的函子的对称范畴群 $M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ 构造一个典范态射 $i_\mathbb{S}: \mathbb{S} \to M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$，该态射是忠实的。
• 证明在 $\mathbb{G}$-模2-范畴中，内射对象在函子 $M(\mathbb{G}, -)$ 下仍保持内射，从而可使用内射化解。
• 通过在单位处求值的同伦等价性，证明 $\mathcal{H}^n(\mathbb{G}, M(\mathbb{G}, \mathbb{S})) = 0$ 对于 $n > 1$ 成立，这对Ext同构至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将导出函子从阿贝尔范畴推广至阿贝尔2-范畴？
• RQ2 范畴群的二次上同调与2-模范畴中Ext之间存在何种关系？
• RQ3 能否证明 $\mathbb{G}$-模的2-范畴具有足够的内射对象，并与2-环上的模存在2-等价？
• RQ4 2-等价如何影响阿贝尔2-范畴的底层范畴？其重要性何在？
• RQ5 投射化解（如投射化解）这类拟纤维对象在从阿贝尔范畴构造阿贝尔2-范畴中起什么作用？

主要发现

• 1-项复形 $\mathbf{A}^{[1]}_c$（度数0处为投射）的导出范畴是三角范畴，且与经典导出范畴 $\mathbb{D}(\mathbf{A})$ 等价。
• 范畴群 $\mathbb{G}$ 以 $\mathbb{G}$-模 $\mathbb{S}$ 为系数的二次上同调 $\mathcal{H}^*(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ 同构于Ext群 $\mathbf{Ext}^*_{{\mathfrak{S}}{\mathfrak{C}}{\mathfrak{G}}_{\mathbb{G}}}(\Phi, \mathbb{S})$。
• $\mathbb{G}$-模的2-范畴 $\mathfrak{S}\mathfrak{C}\mathfrak{G}_{\mathbb{G}}$ 具有足够内射对象，且若 $\mathbb{Q}$ 作为平凡 $\mathbb{G}$-模是内射的，则 $M(\mathbb{G}, \mathbb{Q})$ 也是内射的。
• 典范态射 $i_\mathbb{S}: \mathbb{S} \to M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ 是忠实的，且当 $\mathbb{S}$ 为内射时，$\mathbb{S}$ 是 $M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ 的直和项。
• 2-上链复形 $C^n(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ 导出2-正合序列，且其上同调满足 $\mathcal{H}^n(\mathbb{G}, M(\mathbb{G}, \mathbb{S})) = 0$ 对于 $n > 1$，这对Ext同构至关重要。
• $\mathfrak{S}\mathfrak{C}\mathfrak{G}_{\mathbb{G}}$ 有小的投射生成元，意味着其与2-环上模的2-范畴2-等价。