[论文解读] On absolute nonshadowability of transitive maps

Sergey Tikhomirov|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文在紧致度量空间上的传递映射与传递吸引子中建立了一个二分法：要么该映射具有经典的跟踪性质，要么几乎所有在自然随机过程下的无限伪轨道（以零概率）无法被跟踪。结果表明，在传递性条件下，绝对非跟踪性是普遍的，这意味着对于此类系统，即使存在稠密轨道，也无法通过概率方法恢复跟踪性。

ABSTRACT

We study shadowing property for random infinite pseudotrajectories of a continuous map $f$ of a compact metric space. For the cases of transitive maps and transitive attractors we prove a dichotomy: either $f$ satisfies shadowing property or random pseudotrajectory is shadowable with probability 0.

研究动机与目标

• 研究传递映射的随机伪轨道是否能以正概率被跟踪。
• 确定在具有稠密轨道的系统中，跟踪性质是否能通过概率方法恢复。
• 在传递动力系统中建立完整跟踪与绝对非跟踪之间的二分法。
• 将跟踪性的理解从确定性伪轨道扩展到随机设置。
• 表明对于传递映射与吸引子，若不存在跟踪性，则几乎所有随机伪轨道均不可跟踪。

提出的方法

• 将随机伪轨道建模为点空间上的马尔可夫链，其中每个后续点在 f(y_n) 的 d-球内均匀随机选择。
• 定义概率 p(y₀, d, ε)，表示从 y₀ 出发的 d-伪轨道能被 ε-跟踪的概率。
• 使用绝对非跟踪性的概念：若存在 ε > 0 和所有 y₀、d > 0，使得 p(y₀, d, ε) = 0，则称 f 为绝对非跟踪的。
• 基于存在一个无法被 ε-跟踪的有限伪轨道，结合传递性与紧致性，应用递推论证。
• 利用马尔可夫性质和失败概率的统一正下界，在时间区间上构造一系列独立的跟踪失败事件。
• 采用 Borel-Cantelli 引理与测度论论证，表明最终跟踪失败的概率趋于 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 传递映射的随机无限伪轨道是否能以正概率被跟踪？
• RQ2 是否存在一种二分法，使得在传递性下，所有伪轨道均可跟踪，或几乎全部均不可跟踪？
• RQ3 若经典跟踪性质不成立，是否意味着随机伪轨道以概率几乎为 1 不可跟踪？
• RQ4 在具有稠密正向轨道的系统中，能否通过概率方法恢复跟踪性质？
• RQ5 吸引子及其传递性在决定随机伪轨道可跟踪性方面起什么作用？

主要发现

• 对于传递映射，要么该映射具有经典跟踪性质，要么对于某个 ε > 0，任何随机无限伪轨道以零概率被 ε-跟踪。
• 在传递吸引子的情况下，若映射在吸引子上不满足跟踪性质，则对于吸引域中任意初始点，随机 d-伪轨道被跟踪的概率为零。
• 由于在重叠时间区间内重复发生独立的失败事件，跟踪失败的概率随时间趋于 1。
• 证明依赖于构造一个无法被 ε-跟踪的有限伪轨道，并利用传递性将其无限次嵌入随机轨迹中。
• 该结果在初始条件和小的 d > 0 下具有一致性，表明非跟踪性在伪轨道的小扰动下具有鲁棒性。
• 关键技术工具是在每个重复周期中失败概率的统一正下界 η > 0，确保生存概率的无限乘积趋于零。