[论文解读] On Admissible Locations of Transonic Shock Fronts for Steady Euler Flows in an Almost Flat Finite Nozzle with Prescribed Receiver Pressure

Beixiang Fang, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 40被引用 4

一句话总结

该论文为几乎平坦的二维喷管在给定出口压力条件下，建立了存在跨音速激波解的充分几何与压力条件。通过构建一个线性化自由边界问题以近似激波特前线位置，证明了扩张或收缩喷管可产生唯一初始近似解，而具有混合几何形状的通用喷管可能允许多个解——揭示了在几何扰动下激波特前线位置的非唯一性与不稳定性。

ABSTRACT

This paper concerns the existence of transonic shock solutions to the 2-D steady compressible Euler system in an almost flat finite nozzle ( in the sense that it is a generic small perturbation of a flat one ), under physical boundary conditions proposed by Courant-Friedrichs in \cite{CourantFriedrichs1948}, in which the receiver pressure is prescribed at the exit of the nozzle. In the resulting free boundary problem, the location of the shock-front is one of the most desirable information one would like to determine. However, the location of the normal shock-front in a flat nozzle can be anywhere in the nozzle so that it provides little information on the possible location of the shock-front when the nozzle's boundary is perturbed. So one of the key difficulties in looking for transonic shock solutions is to determine the shock-front. To this end, a free boundary problem for the linearized Euler system will be proposed, whose solution will be taken as an initial approximation for the transonic shock solution. In this paper, a sufficient condition in terms of the geometry of the nozzle and the given exit pressure is derived which yields the existence of the solutions to the proposed free boundary problem. Once an initial approximation is obtained, a further nonlinear iteration could be constructed and proved to lead to a transonic shock solution.

研究动机与目标

• 确定几乎平坦有限二维喷管内二维定常Euler流中跨音速激波特前线的可接受位置。
• 解决在给定出口压力的自由边界问题中激波特前线位置确定的挑战。
• 分析在喷管边界扰动下跨音速激波解的结构稳定性与非唯一性。
• 提出一个线性化自由边界问题作为非线性迭代的初始近似框架。
• 推导出将喷管几何形状与出口压力关联至激波解存在的充分条件。

提出的方法

• 为具有激波特前线作为未知边界条件的二维定常可压缩Euler系统建立自由边界问题。
• 应用Lagrange变换将问题重新表述为固定域设定以利于分析。
• 提出一个线性化自由边界问题以近似激波特前线位置，以超音速流作为输入。
• 施加与Courant-Friedrichs物理模型一致的边界条件：超音速流入、给定出口压力及无穿透壁面。
• 使用加权Sobolev空间与一阶PDE椭圆系统分析解的存在性与正则性。
• 基于初始线性近似构建非线性迭代格式，证明其压缩性并收敛至完整的跨音速激波解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几乎平坦的二维喷管中，给定出口压力时，激波解存在的几何与压力条件是什么？
• RQ2 激波特前线位置如何依赖于喷管形状，特别是在扩张、收缩或混合几何构型下？
• RQ3 在通用喷管中，对于相同的出口压力，是否可能存在多个激波特前线的初始近似？
• RQ4 线性化自由边界问题在构建收敛的非线性迭代以求解完整激波解中起什么作用？
• RQ5 初始近似解的非唯一性如何影响在扰动下跨音速激波解的稳定性与多重性？

主要发现

• 对于严格扩张或收缩的喷管，只要出口压力位于特定区间内，线性化自由边界问题即存在唯一解。
• 在同时包含扩张与收缩区域的通用喷管中，对于相同的出口压力，可能存在多个解，意味着初始近似的非唯一性。
• 这种初始近似的非唯一性直接导致在相同物理参数下存在多个跨音速激波解，揭示了未受扰动的法向激波解的不稳定性。
• 线性化问题解存在的充分条件依赖于喷管几何形状与给定出口压力，确保在适当约束下可解。
• 非线性迭代格式被证明是适定且压缩的，一旦获得初始近似，即可保证收敛至跨音速激波解。
• 分析结果确认，Courant-Friedrichs边界条件（给定出口压力）在小扰动下可保证适定性与结构稳定性，但在一般几何变化下会引发非唯一性。