[论文解读] On Algebraic condition for null controllability of some coupled degenerate systems

El Mustapha Ait Ben Hassi, Mohamed Fadili+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文为具有常系数、可对角化扩散矩阵及 $ m $ 个控制的 $ n $ 个耦合的线性退化抛物系统，建立了广义的卡尔曼秩条件以实现零可控性。通过证明一个 $ 2n $ 阶标量退化方程的全局卡莱曼估计，并推导出伴随系统的可观测性不等式，作者表明：当且仅当对退化算子的所有特征值 $ \lambda_p $，卡尔曼秩条件 $ \text{rank}[(-\lambda_p\mathbf{D}+A)\mid B] = n $ 成立时，零可控性成立，从而将经典可控性结果推广至退化、耦合系统。

ABSTRACT

In this paper we will generalize the Kalman rank condition for the null controllability to $n$-coupled linear degenerate parabolic systems with constant coefficients, diagonalizable diffusion matrix, and $m$-controls. For that we prove a global Carleman estimate of the solution of a scalar $2n$-order equation then we infer from it an observability inequality for the corresponding adjoint system, and thus the null controllability.

研究动机与目标

• 将经典的卡尔曼秩条件零可控性推广至具有常系数的 $ n $ 个耦合的线性退化抛物系统。
• 处理扩散矩阵 $ \mathbf{D} $ 可对角化且具有正实特征值，耦合矩阵 $ A $ 满秩的情形。
• 为满足 $ a(0) = 0 $ 的弱退化或强退化扩散系数 $ a(x) $ 的系统建立零可控性。
• 证明一个 $ 2n $ 阶标量退化方程的全局卡莱曼估计，以推导出此类耦合系统的伴随系统的可观测性不等式。
• 证明在该退化、全耦合设定下，卡尔曼秩条件既是必要条件也是充分条件。

提出的方法

• 为包含 $ y_t $、$ (a(x)y_x)_x $、$ y $ 和 $ y_x $ 项的标量 $ 2n $ 阶退化抛物方程证明全局卡莱曼估计。
• 利用卡莱曼估计推导出原始耦合退化系统伴随系统的可观测性不等式。
• 通过零可控性与可观测性之间的对偶性，将问题简化为验证可观测性不等式。
• 利用谱分解与特征函数展开，基于退化算子 $ \mathcal{M} $ 的特征值 $ \lambda_p $ 分析伴随系统。
• 在卡尔曼条件下建立关键不等式 $ \|\varphi(0,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_{(0,T)\times\omega} |B^*\varphi|^2 \,dxdt $。
• 利用条件 $ \ker(\mathcal{K}^*) = \{0\} $ 确保对所有相关特征值，卡尔曼秩条件成立，从而保证可观测性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种代数条件下，具有常系数和 $ m $ 个控制的 $ n $ 个耦合退化抛物方程系统是零可控的？
• RQ2 经典卡尔曼秩条件如何推广至具有可对角化扩散矩阵的退化、耦合抛物系统？
• RQ3 能否利用 $ 2n $ 阶退化方程的全局卡莱曼估计，推导出此类耦合系统伴随系统的可观测性估计？
• RQ4 退化算子 $ \mathcal{M} $ 的特征值在决定系统可控性方面起什么作用？
• RQ5 在这一类退化、全耦合系统中，卡尔曼秩条件是否既是必要条件也是充分条件？

主要发现

• 当且仅当对算子 $ \mathcal{M} $ 的所有特征值 $ \lambda_p $，广义卡尔曼秩条件 $ \text{rank}[(-\lambda_p\mathbf{D}+A)\mid B] = n $ 成立时，$ n $ 个耦合退化系统的零可控性成立。
• 为一个 $ 2n $ 阶标量退化方程建立了全局卡莱曼估计，这对于推导耦合系统中的可观测性不等式至关重要。
• 在假设 $ \ker(\mathcal{K}^*) = \{0\} $ 下，证明了可观测性不等式 $ \|\varphi(0,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_{(0,T)\times\omega} |B^*\varphi|^2 \,dxdt $，该条件等价于卡尔曼条件。
• 证明依赖于一种新颖的卡莱曼估计，其中包含 $ y_t $、$ (a(x)y_x)_x $、$ y $ 和 $ y_x $ 项，将先前结果推广至高阶退化系统。
• 该结果将早期关于级联或标量退化系统的发现推广至具有可对角化扩散矩阵的全耦合系统。
• 关键技术突破在于使用 $ 2n $ 阶卡莱曼估计处理完整的耦合结构，从而实现精确的可观测性估计推导。