[论文解读] On $\alpha$-Firmly Nonexpansive Operators in $r$-Uniformly Convex Spaces

Arian Bërdëllima, Gabriele Steidl|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2021

Optimization and Variational Analysis参考文献 49被引用 3

一句话总结

本文在 r-一致凸 Banach 空间中引入了 α-牢固非扩张和拟 α-牢固非扩张算子，将希尔伯特空间中的平均算子理论推广至更广范畴。研究证明，此类算子的复合与凸组合仍属于该类，并在较弱条件下建立了迭代序列弱收敛至不动点的结果，将收敛性理论从希尔伯特空间推广至 Lp 空间与半群理论。

ABSTRACT

We introduce the class of $\alpha$-firmly nonexpansive and quasi $\alpha$-firmly nonexpansive operators on $r$-uniformly convex Banach spaces. This extends the existing notion from Hilbert spaces, where $\alpha$-firmly nonexpansive operators coincide with so-called $\alpha$-averaged operators. For our more general setting, we show that $\alpha$-averaged operators form a subset of $\alpha$-firmly nonexpansive operators. We develop some basic calculus rules for (quasi) $\alpha$-firmly nonexpansive operators. In particular, we show that their compositions and convex combinations are again (quasi) $\alpha$-firmly nonexpansive. Moreover, we will see that quasi $\alpha$-firmly nonexpansive operators enjoy the asymptotic regularity property. Then, based on Browder's demiclosedness principle, we prove for $r$-uniformly convex Banach spaces that the weak cluster points of the iterates $x_{n+1}:=Tx_{n}$ belong to the fixed point set $ ext{Fix} T$ whenever the operator $T$ is nonexpansive and quasi $\alpha$-firmly. If additionally the space has a Fr\'echet differentiable norm or satisfies Opial's property then these iterates converge weakly to some element in $ ext{Fix} T$. Further, the projections $P_{ ext{Fix} T}x_n$ converge strongly to this weak limit point. Finally, we give three illustrative examples, where our theory can be applied, namely from infinite dimensional neural networks, semigroup theory, and contractive projections in $L_p$, $p \in (1,\infty) \backslash \{2\}$ spaces on probability measure spaces.

研究动机与目标

• 本文旨在将希尔伯特空间中平均算子的理论推广至 r-一致凸 Banach 空间。
• 旨在在此更广的框架下定义并分析 α-牢固非扩张算子与拟 α-牢固非扩张算子。
• 目标包括证明此类算子不动点迭代的收敛性质。
• 研究其在无限维神经网络、半群理论以及 Lp 空间（p ∈ (1, ∞) \ {2}）中压缩投影的应用。
• 旨在建立在 Fréchet 可微范数或 Opial 性质条件下迭代序列的弱收敛性，推广 Opial 与 Browder 定理。

提出的方法

• 本文通过利用 Banach 空间 r-一致凸性导出的范数不等式，定义 α-牢固非扩张算子。
• 证明在此设定下，α-平均算子是 α-牢固非扩张算子的子集。
• 作者建立了运算法则：(拟) α-牢固非扩张算子的复合与凸组合仍属于该类。
• 他们利用 Browder 的半闭性原理与 Opial 型论证，证明迭代序列的弱极限点属于不动点集。
• 对于具有 Fréchet 可微范数或满足 Opial 性质的空间，建立了迭代序列弱收敛至不动点的结果。
• 示例包括 Lp 空间（p ≠ 2）中的压缩投影、等距算子及其相关投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 α-牢固非扩张算子的概念从希尔伯特空间推广至 r-一致凸 Banach 空间？
• RQ2 α-牢固非扩张算子在复合与凸组合下是否具有封闭性？
• RQ3 在何种条件下，非扩张且拟 α-牢固非扩张算子的迭代序列弱收敛至不动点？
• RQ4 该理论如何应用于 Lp 空间（p ∈ (1, ∞) \ {2}）中的压缩投影？
• RQ5 能否在不满足 Opial 性质的空间中，利用 Browder 的半闭性原理将收敛结果推广？

主要发现

• 在 r-一致凸 Banach 空间中，α-牢固非扩张算子类严格推广了 α-平均算子类。
• （拟）α-牢固非扩张算子的复合与凸组合仍为（拟）α-牢固非扩张算子。
• 拟 α-牢固非扩张算子是渐近正则的。
• 在 r-一致凸空间中，非扩张且拟 α-牢固非扩张算子的迭代序列的弱极限点属于不动点集。
• 若空间具有 Fréchet 可微范数或满足 Opial 性质，则迭代序列弱收敛至不动点。
• 在勒贝格空间（如 Lp，p ∈ (1, ∞)）中，压缩投影的复合或凸组合的迭代序列弱收敛至不动点集的交集中的某一点。