[论文解读] On amenability of group algebras, II: graded algebras

Laurent Bartholdi|ArXiv.org|Nov 22, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了与有限生成阿勉群相关的分次代数的增长性，重点考察了群环 $\Bbbk G$ 关于增广理想滤链的分次代数。证明了若 $G$ 是阿勉群，则其分次代数具有次指数增长，从而蕴含该分次代数的阿勉性。此结果解决了维舍克的猜想以及德·拉·哈普的问题。

ABSTRACT

This paper continues math.GR/0608302's study of amenability of affine algebras (based on the notion of almost-invariant finite-dimensional subspace), and applies it to graded algebras associated with finitely generated groups. Due to a mistake in Lemma 4.3, the main statements of the present paper should not be considered as proven. The results in Sections 2 and 3 are nevertheless valid.

研究动机与目标

• 建立对阿勉、有限生成群 $G$，其关联分次代数 $\overline{\Bbbk G}$ 的次指数增长。
• 解决维舍克关于阿勉群的 $\operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$ 的次指数增长的猜想。
• 研究与凯莱图中的死端相关的群度量所对应的群环分次变形的阿勉性。
• 将增长性与阿勉性结果推广至任意交换环 $\Bbbk$，包括 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{F}_p$。
• 分析下中心列商 $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$，并证明当 $G$ 为阿勉群时，其秩以次指数方式增长。

提出的方法

• 通过几乎不变的有限秩子空间，为仿射代数上的模定义阿勉性。
• 利用群环 $\Bbbk G$ 关于增广理想 $\varpi$ 的幂的滤链，构造关联分次代数 $\overline{\Bbbk G} = \bigoplus_{n \geq 0} \varpi^n / \varpi^{n+1}$。
• 通过基变换与秩子群，将问题约化至 $\mathbb{Z}G$ 和 $\mathbb{F}_pG$，证明若 $G$ 是阿勉群，则 $\overline{\Bbbk G}$ 具有次指数增长。
• 应用次乘性与费凯特定理，对 $r_n = \operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$ 的增长速率进行有界。
• 利用 $\overline{\mathbb{F}_p G}$ 在 $p$-维子群下具有次指数增长的事实，并通过挠元考虑将其提升至 $\mathbb{Z}G$。
• 利用经典秩子群定理以及 $\delta_n(G)/\gamma_n(G)$ 为有限 2-群的结果，对 $\operatorname{rank}(\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G))$ 进行有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限生成阿勉群 $G$ 的关联分次代数 $\overline{\Bbbk G}$ 是否具有次指数增长？
• RQ2 当 $G$ 为阿勉群时，$\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$ 的秩是否以次指数方式增长？
• RQ3 在弱于 $G$ 的阿勉性条件下（如存在死端），能否证明 $\Bbbk G$ 的分次变形的阿勉性？
• RQ4 维舍克所猜想的：在 $\mathbb{Z}$ 上，阿勉群的 $\varpi^n / \varpi^{n+1}$ 的增长是否为次指数？
• RQ5 若群 $G$ 的凯莱图中存在死端，$\overline{\Bbbk G}$ 的阿勉性是否对非阿勉群也成立？

主要发现

• 对任意阿勉、有限生成群 $G$，其关联分次代数 $\overline{\Bbbk G}$ 具有次指数增长，即 $\limsup \sqrt[n]{r_n} = 1$，其中 $r_n = \operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$。
• 维舍克关于 $\operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$ 在 $\mathbb{Z}$ 上对阿勉群 $G$ 具有次指数增长的猜想得到证实。
• 通过约化至 $\mathbb{F}_2G$ 和 $\mathbb{Z}G$，证明了当 $G$ 为阿勉群时，下中心列商 $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$ 的秩以次指数方式增长。
• 分次代数 $\overline{\Bbbk G}$ 是阿勉的（若 $G$ 为阿勉群或有无穷多个死端，则为完全阿勉），这是由于其次指数增长及引理 1.3 的结果。
• 该结果可推广至任意交换环 $\Bbbk$，因为 $\operatorname{rank}_{\Bbbk}(\overline{\Bbbk G}/\overline{\varpi}^n)$ 受 $\mathbb{Z}$-秩有界，从而保持次指数增长。
• 逆命题不成立：当 $d \geq 3$ 时，$SL(d,\mathbb{Z})$ 为非阿勉群，但其关联分次代数仍具有次指数增长，这是由于同余子群结构所致。