[论文解读] On an extremal problem involving a pair of forbidden posets

Casey Tompkins, Yao Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文通过证明在 $n$-元素集合的子集族中，若避免作为诱导子偏序集的 $Y_k$ 和 $Y_k'$，则其最大大小恰好为布尔格中前 $k$ 个最大层级的大小之和，即 $\Sigma(n,k)$，从而解决了Methuku与本文第一作者提出的一个猜想。证明采用循环排列方法，对圆排列中的区间数量进行界定，建立诱导 $Y_k$-和 $Y_k'$-自由族满足的关键双重计数不等式，从而推出极值界。

ABSTRACT

Resolving a conjecture of Methuku and the first author we determine the size of the largest family of subsets of an $n$-element set avoiding both $Y_k$ and $Y_k'$ as induced subposets. The result follows as a consequence of the analogous result on a cyclical grid poset.

研究动机与目标

• 解决布尔格中避免 $Y_k$ 和 $Y_k'$ 作为诱导子偏序集的族的极值大小猜想。
• 确立极值函数 $\operatorname{La}^*(n,\{Y_k,Y_k'\})$ 等于 $\Sigma(n,k)$，即 $2^{[n]}$ 中前 $k$ 个最大层级的大小之和。
• 将此前用于无子偏序集族的循环排列方法，拓展至诱导子偏序集情形。
• 通过分析循环排列中的链与区间分组，对避免诱导 $Y_k$ 和 $Y_k'$ 的族提供结构表征。

提出的方法

• 使用Katona的循环排列方法，将子集映射到圆周上的区间，以分析极值族。
• 应用双重计数论证：若 $\mathcal{A}$ 是诱导 $Y_k,Y_k'$-自由的，则对任意排列 $\pi$，有 $|\mathcal{I}(n)^\pi \cap \mathcal{A}| \leq kn$。
• 基于大小、首元素与尾元素参数定义链的分组，以控制循环区间中可比较集合的数量。
• 为链的分组引入权重函数 $w(E)$，以追踪其对双重计数和的贡献，确保总权重非正。
• 在分组上构造有向图以分析环与路径，证明总权重至多为零，从而推出界。
• 利用结构约束（如 $1 \leq t(C_i) \leq k-2$，$2 \leq m(C_i) \leq k-1$）限制链长，防止出现禁止配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $[n]$ 的子集族中，避免 $Y_k$ 和 $Y_k'$ 作为诱导子偏序集的最大大小是多少？
• RQ2 猜想 $\operatorname{La}^*(n,\{Y_k,Y_k'\}) = \Sigma(n,k)$ 是否对所有 $k \geq 2$ 和 $n \geq k+1$ 成立？
• RQ3 循环排列方法能否被调整以证明诱导子偏序集问题的极值界？
• RQ4 链与区间分组的结构特性如何约束诱导 $Y_k,Y_k'$-自由族的大小？

主要发现

• 避免 $Y_k$ 和 $Y_k'$ 作为诱导子偏序集的族的极值大小恰好为 $\Sigma(n,k)$，即布尔格中前 $k$ 个最大层级的大小之和。
• 界 $\operatorname{La}^*(n,\{Y_k,Y_k'\}) = \Sigma(n,k)$ 是紧的，且由 $2^{[n]}$ 中前 $k$ 个最大层级的并集实现。
• 对任意排列 $\pi$，$\mathcal{A}$ 与循环区间 $\mathcal{I}(n)^\pi$ 的交集至多为 $kn$，这是双重计数论证的关键。
• 链分组的权重分析表明，其对双重计数和的总贡献至多为零，从而推出极值界。
• 证明表明，任何大小超过 $\Sigma(n,k)$ 的族均不可能包含诱导 $Y_k$ 或 $Y_k'$ 配置，从而确认了该猜想。
• 该结果推广了Erdős关于 $k$-链自由族的定理，并将De Bonis、Katona与Swanepoel在无子偏序集情形下的结果拓展至诱导情形。