[论文解读] On an extreme two-point distribution

V. I. Chebotarev, A. S. Kondrik+1 more|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Probability and Risk Models被引用 3

一句话总结

本文改进了标准化分布函数与标准正态分布之间上确界距离的Berry–Esseen界。通过分析一个极端的两点分布，作者证明最优界为 $ C_{\text{\Phi}} = 0.5409365\ldots $，当随机变量以概率 $ 0.0434 $ 和 $ 0.9566 $ 取值 $ x_1 = -4.6925 $ 和 $ x_2 = 0.2131 $ 时达到该界，证明了该界的紧致性。

ABSTRACT

A bound for functional $Δ(F)=\sup_{x\in\mathbb R}|F(x)-Φ(x)|$ is obtained, which is uniform for all distribution functions $F$ of random variables with zero mean-value and unity variance. Moreover, a two-point distribution is found, for which this bound is reached.

研究动机与目标

• 改进标准化分布函数与标准正态分布之间上确界距离的上界。
• 确定在单个随机变量的Berry–Esseen不等式中，使界最紧致的分布。
• 在先前报告的界值0.5416基础上，提供一个更精确、解析推导出的更优值。
• 通过构造一个特定的两点分布，证明新界不可再改进。

提出的方法

• 定义函数 $ \Psi(x) = \frac{1}{1+x^2} - \Phi(-|x|) $，该函数界定了标准正态分布尾部与任意标准化分布尾部之间的差异。
• 证明 $ \Psi(x) $ 为正，并在 $ x = \pm x_{\Phi} $ 处取得最大值 $ C_{\Phi} = 0.5409365\ldots $，其中 $ x_{\Phi} \approx 0.213105 $。
• 推导临界点条件 $ x e^{x^2/2} (1+x^2)^{-2} = (8\pi)^{-1/2} $，该条件定义了 $ x_{\Phi} $。
• 构造极端两点分布 $ X_{\Phi} $，其取值为 $ x_1 = -1/x_{\Phi} $ 和 $ x_2 = x_{\Phi} $，对应概率为 $ p_1 = x_{\Phi}^2/(1+x_{\Phi}^2) $，$ p_2 = 1/(1+x_{\Phi}^2) $。
• 证明对于该分布，有 $ \Delta(F) = \sup_x |F(x) - \Phi(x)| = C_{\Phi} $，从而证明该界是紧致的。
• 利用标准化随机变量的不等式 $ \mathbb{P}(X \geq x) \leq \frac{1}{1+x^2} $ 推导出上界 $ \Delta(F) \leq \Psi(x) \leq C_{\Phi} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准化分布与标准正态分布之间Kolmogorov-Smirnov距离的最紧致上界是什么？
• RQ2 先前报告的界值0.5416是否可以改进？若可以，改进幅度是多少？
• RQ3 是否存在某个特定分布，使得在单个随机变量的Berry–Esseen界中达到等号？
• RQ4 使界达到饱和的极端两点分布的支撑点和概率的精确值是多少？
• RQ5 与依赖于高阶矩（如三阶绝对矩）的其他界相比，新界有何表现？

主要发现

• 任意标准化分布函数 $ F $ 与标准正态分布之间的上确界距离 $ \Delta(F) $ 被上界 $ C_{\Phi} = 0.5409365\ldots $ 所限制。
• $ \Psi(x) = \frac{1}{1+x^2} - \Phi(-|x|) $ 的最大值在 $ x = \pm x_{\Phi} $ 处取得，其中 $ x_{\Phi} \approx 0.213105 $。
• 取值为 $ x_1 = -4.692518\ldots $ 和 $ x_2 = 0.213105\ldots $ 的极端两点分布 $ X_{\Phi} $ 实现了界 $ \Delta(F) = C_{\Phi} $ 的等号。
• $ \Delta(F) \leq C_{\Phi} $ 的界不可再改进，因为对于 $ F_{\Phi} $ 和 $ \widetilde{F}_{\Phi} $ 均达到等号。
• 新界 $ C_{\Phi} = 0.5409365\ldots $ 严格小于先前报告的0.5416，修正了早期估计。
• 对于三阶绝对矩 $ \beta < C_{\Phi}/C_1 \approx 1.46 $ 的分布，新界比基于矩的其他界更紧致。