[论文解读] On an infinite series for $(1+1/x)^x$

Cristinel Mortici, Yue Hu|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过使用 $x + \frac{11}{12}$ 的负幂级数，构建了 $(1+1/x)^x$ 的改进渐近展开，证明 $\varepsilon = \frac{11}{12}$ 是此类平移中收敛速度最快的。文中推导了系数 $d_n$ 的递推关系，给出了积分表示，并通过优化平移参数，扩展了杨关于 Carleman 型不等式的猜想。

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct a new expansion of $(1+1/x)^x$ related to Carleman's inequality. Our results extend some results of Yang [Approximations for constant e and their applications J. Math. Anal. Appl. 262 (2001) 651-659].

研究动机与目标

• 解决杨提出的一个开放问题：在展开式 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\left(1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{(x+\varepsilon)^n}\right)$ 中，最优平移 $\varepsilon$ 的取值。
• 通过选择 $\varepsilon = \frac{11}{12}$，构造一个快速收敛的 $(1+1/x)^x$ 级数展开，其收敛速度优于以往的展开形式。
• 为以 $x + \frac{11}{12}$ 为中心的级数展开中的系数 $d_n$ 推导递推关系。
• 利用函数 $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$，为系数 $d_n$ 提供积分表示。

提出的方法

• 作者使用引理1，该引理将 $n^k(\omega_n - \omega_{n+1})$ 的极限与 $\omega_n$ 的收敛速度联系起来，从而确定最优平移 $\varepsilon = \frac{11}{12}$。
• 通过渐近匹配法，推导出如下形式的级数展开：$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1 - \frac{1/2}{n+11/12} - \frac{5/288}{(n+11/12)^3} - \cdots \right)$，其中系数通过渐近方法计算得出。
• 利用满足 $g(t) = e(1 + c_1 t + c_2 t^2 + \cdots)$ 的生成函数 $g(t) = \left(\frac{1 - \frac{11}{12}t}{1 + \frac{1}{12}t}\right)^{\frac{11}{12} - \frac{1}{t}}$，建立 $d_n$ 的递推关系。
• 通过递推关系 $d_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} d_k$（其中 $d_0 = -1$）推导出系数 $d_n$，其中 $a_n$ 涉及 11 的幂次与交错符号。
• 将 $t = (x + 11/12)^{-1}$ 代入已知的 $e - (1+1/x)^x$ 的积分公式，获得 $d_n$ 的积分表示。
• 推导出 $n \geq 2$ 时的积分公式：$d_n = \frac{(-1)^n}{12^{n-1}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{e} \int_0^1 \frac{(12s-11)^{n-1} - 1}{s-1} g(s) ds \right)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\varepsilon \in (0,1]$ 范围内，$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\left(1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{(x+\varepsilon)^n}\right)$ 的级数展开中，哪个 $\varepsilon$ 值能实现最优收敛速度？
• RQ2 能否为以 $x + \frac{11}{12}$ 为中心的展开式中的系数 $d_n$ 推导出递推关系？
• RQ3 如何利用函数 $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$，通过积分形式表示系数 $d_n$？
• RQ4 当 $\varepsilon = \frac{11}{12}$ 时，该级数的收敛速度是否快于以往的展开形式（如基于 $n+1$ 的展开）？
• RQ5 当平移参数优化为 $\frac{11}{12}$ 时，$(1+1/x)^x$ 的渐近展开的精确结构是什么？

主要发现

• $\varepsilon = \frac{11}{12}$ 是 $(1+1/x)^x$ 级数展开的最优选择，在所有 $\varepsilon \in (0,1]$ 中实现最快的收敛速度。
• 展开式 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1 - \frac{1/2}{n+11/12} - \frac{5/288}{(n+11/12)^3} - \cdots \right)$ 在截断 $k$ 项后，误差阶为 $n^{-k}$，优于以往展开的 $n^{-(k-1)}$ 阶误差。
• 系数 $d_n$ 满足递推关系 $d_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} d_k$，其中 $d_0 = -1$，且 $a_n = \frac{n+1}{12^{n+2}} \left( \frac{(-1)^{n+1}11 - 11^{n+2}}{n+1} - \frac{(-1)^n - 11^{n+2}}{n+2} \right)$。
• 对于 $n \geq 2$，$d_n$ 的积分表示为：$d_n = \frac{(-1)^n}{12^{n-1}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{e} \int_0^1 \frac{(12s-11)^{n-1} - 1}{s-1} g(s) ds \right)$，其中 $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$。
• 前几项系数为 $d_1 = \frac{1}{2}$，$d_2 = 0$，$d_3 = \frac{5}{288}$，$d_4 = \frac{139}{17280}$，$d_5 = \frac{119}{23040}$，验证了收敛性的显著提升。