[论文解读] On an optimal quadrature formula for approximation of Fourier integrals in the space $L_2^{(1)}$

A.R. Hayotov, Soomin Jeon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2019

Numerical methods in inverse problems被引用 5

一句话总结

该论文通过最小化误差泛函的范数，利用二阶导数算子的离散模拟构造了在 Sobolev 空间 $L_2^{(1)}[a,b]$ 中逼近傅里叶积分的最优求积公式。该方法对 $C^2[a,b]$ 函数实现 $O(h^2)$ 收敛率，并成功应用于重建 X 射线 CT 图像，在内部区域的性能与 MATLAB 内置的 iradon 函数相当。

ABSTRACT

This paper deals with the construction of an optimal quadrature formula for the approximation of Fourier integrals in the Sobolev space $L_2^{(1)}[a,b]$ of non-periodic, complex valued functions which are square integrable with first order derivative. Here the quadrature sum consists of linear combination of the given function values in a uniform grid. The difference between the integral and the quadrature sum is estimated by the norm of the error functional. The optimal quadrature formula is obtained by minimizing the norm of the error functional with respect to coefficients. Analytic formulas for optimal coefficients can also be obtained using discrete analogue of the differential operator $d^2/d x^2$. In addition, the convergence order of the optimal quadrature formula is studied. It is proved that the obtained formula is exact for all linear polynomials. Thus, it is shown that the convergence order of the optimal quadrature formula for functions of the space $C^2[a,b]$ is $O(h^2)$. Moreover, several numerical results are presented and the obtained optimal quadrature formula is applied to reconstruct the X-ray Computed Tomography image by approximating Fourier transforms.

研究动机与目标

• 开发用于逼近形式为 $\int_0^1 e^{2\pi i \omega x} \varphi(x) dx$ 的傅里叶积分的最优求积公式，定义于 Sobolev 空间 $L_2^{(1)}[0,1]$ 中。
• 通过在 $L_2^{(1)}$ 空间中最小化误差泛函的范数，推导出最优系数的显式解析公式。
• 通过线性变换将最优公式从 $[0,1]$ 扩展到任意区间 $[a,b]$。
• 通过离散 Radon 变换验证该公式在重建 X 射线计算机断层扫描（CT）图像中的有效性。
• 将所提出的最优求积公式的性能与 MATLAB 内置的 iradon 函数在 CT 图像重建中的表现进行比较。

提出的方法

• 将求积规则表述为在均匀网格点上函数值的线性组合，其中系数待优化。
• 将误差泛函 $\ell$ 定义为精确傅里叶积分与求积和之间的差值，用狄拉克函数和特征函数表示。
• 使用 Sard 的最优求积方法，在对偶空间 $L_2^{(1)*}[0,1]$ 中最小化误差泛函的范数。
• 利用微分算子 $d^2/dx^2$ 的离散模拟，推导出最优系数的显式公式。
• 将所得公式应用于近似傅里叶变换，并通过滤波反投影重建 CT 图像。
• 对测试函数和 Shepp-Logan 幻像进行数值实验，采用不同积分区间和网格尺寸。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L_2^{(1)}[0,1]$ 空间中，傅里叶积分求积公式的最优系数的显式公式是什么？
• RQ2 对于 $C^2[a,b]$ 中的函数，最优求积公式的收敛阶是多少？
• RQ3 所提出的最优求积公式在 CT 图像重建中与 MATLAB 的 iradon 函数相比性能如何？
• RQ4 最优求积公式在重建具有间断或陡峭变化的函数时是否保持高精度？
• RQ5 该最优求积公式能否有效从 $[0,1]$ 扩展到任意区间 $[a,b]$？

主要发现

• 最优求积公式对 $C^2[a,b]$ 中的函数实现 $O(h^2)$ 收敛阶。
• 该公式对所有线性多项式精确成立，证实其具有二阶精度。
• 通过 $d^2/dx^2$ 的离散模拟导出的系数使误差泛函的范数最小化。
• 数值结果表明，更宽的积分区间 $[-25,25]$ 比 $[-1,1]$ 能提供更精确的重建结果。
• 对于 Shepp-Logan 幻像，最优求积公式重建图像的 PSNR 为 29.644（内部区域），$E_{\max} = 0.3895$，与 MATLAB 的 iradon 函数性能相当。
• 当排除外环区域后，所提方法在内部区域的精度优于 iradon 函数，MSE 分别为 $1.9265 \times 10^{-4}$ 与 $1.9613 \times 10^{-4}$。