[论文解读] On analogues of Arakawa-Kaneko zeta functions of Mordell-Tornheim type

Takuma Ito|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文引入了Mordell-Tornheim型Arakawa-Kaneko zeta函数的类比，建立了这些新函数与Mordell-Tornheim多重zeta函数之间的函数关系。证明了其解析延拓为整函数，并推导出多重zeta值的显式公式，包括恒等式 $\zeta_{MT,3}(2,1,1;1) = 2\zeta(2)\zeta(3) - \zeta(5)$。

ABSTRACT

In this paper, we construct certain analogues of the Arakawa-Kaneko zeta functions. We prove functional relations between these functions and the Mordell-Tornheim multiple zeta functions. Furthermore we give some formulas among Mordell-Tornheim multiple zeta values as their applications.

研究动机与目标

• 在Mordell-Tornheim框架中构造Arakawa-Kaneko zeta函数的类比。
• 建立这些新zeta函数与Mordell-Tornheim多重zeta函数之间的函数关系。
• 作为函数关系的应用，推导出Mordell-Tornheim多重zeta值的显式公式。
• 将结果推广至高阶多重积分和更多变量的多重zeta函数。

提出的方法

• 定义函数 $\xi_{MT}(\mathbf{k};s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t - 1} \prod_{j=1}^r \operatorname{Li}_{k_j}(1 - e^{-t}) dt$，其中 $\mathbf{k} \in \mathbb{N}^r$ 且 $\Re(s) > 1 - r$。
• 利用围道积分和伽马函数的性质，证明 $\xi_{MT}(\mathbf{k};s)$ 的解析延拓为整函数。
• 通过积分恒等式和生成函数，建立 $\xi_{MT}(\mathbf{k};s)$ 与Mordell-Tornheim zeta函数之间的函数关系。
• 使用围道变形和留数计算的方法，将负整数处的取值与广义多伯努利数 $C^{\mathbf{k}}_{m,MT}$ 联系起来。
• 通过 $g$ 重乘积 $\xi_{MT,g}(\mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_g; s)$ 将构造推广至更高阶，扩展至高阶多重zeta函数框架。
• 推导出一个主函数关系（定理15），将多重zeta值与二项式系数和Pochhammer符号联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用多重多对数函数将Arakawa-Kaneko zeta函数推广至Mordell-Tornheim框架？
• RQ2 新Mordell-Tornheim型zeta函数与经典Mordell-Tornheim多重zeta函数之间存在何种函数关系？
• RQ3 能否从这些函数关系中推导出Mordell-Tornheim多重zeta值的显式公式？
• RQ4 广义zeta函数 $\xi_{MT,g}(\mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_g; s)$ 的结构是什么，它们与多重zeta值有何关系？
• RQ5 是否存在一个更高阶的函数关系推广，能够统一文献中已知的恒等式？

主要发现

• 函数 $\xi_{MT}(\mathbf{k};s)$ 在 $\Re(s) > 1 - r$ 下被解析延拓为整函数，且对所有 $m \in \mathbb{N}_0$ 有 $\xi_{MT}(\mathbf{k}; -m) = (-1)^m C^{\mathbf{k}}_{m,MT}$。
• 建立了函数关系：$\zeta(2)^2\zeta(s) - 2\zeta(2)\xi_{MT}(2;s) + \xi_{MT}(2,2;s) = \zeta_{MT,3}(2,2,0;s) + 2s\zeta_{MT,3}(2,1,0;s+1) + s(s+1)\zeta_{MT,3}(1,1,0;s+2)$。
• 获得了显式计算结果：$\zeta_{MT,3}(2,1,1;1) = 2\zeta(2)\zeta(3) - \zeta(5)$。
• 推广的函数关系（定理15）将 $N$ 重积分与Mordell-Tornheim zeta函数联系起来，涉及子集和与多项式系数的求和。
• 证明了一个引理：$\sum_{j=1}^g r_j! \, \xi_{MT,g-1}(\dots, \mathbf{1}_{r_j+1}, \dots; r_j+1) = \prod_{j=1}^g \zeta_{MT,r_j}(\{1\}^{r_j};1)$，将广义zeta值与zeta函数的乘积联系起来。
• 定理15中 $N=2$ 的情形恢复了Euler分解恒等式：$\zeta(k+1)\zeta(r+1) = \sum_{m=0}^k \binom{r+m}{r} \zeta(k+1-m, r+1+m) + \sum_{n=0}^r \binom{k+n}{k} \zeta(r+1-n, k+1+n)$。