[论文解读] On ancient solutions of the heat equation

Fanghua Lin, Qi S. Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文为欧几里得空间及非负 Ricci 曲率的黎曼流形上的热方程所有正古解提供了显式的积分表示。它表明这些解是正解 $\Delta h - s h = 0$（$s > 0$）的 Laplace 变换，通过球面上和正时间轴上的 Borel 测度族实现，利用负时间上的完全单调函数对解进行完全表征。

ABSTRACT

An explicit representation formula for all positive ancient solutions of the heat equation in the Euclidean case is found. In the Riemannian case with nonnegative Ricci curvature, a similar but less explicit formula is also found. Here it is proven that any positive ancient solution is the standard Laplace transform of positive solutions of the family of elliptic operator $Δ- s$ with $s>0$. Further relaxation of the curvature assumption is also possible. It is also shown that the linear space of ancient solutions of polynomial growth has finite dimension and these solutions are polynomials in time.

研究动机与目标

• 表征 $\mathbb{R}^n \times (-\infty, 0]$ 上热方程所有正古解，这是抛物型 PDE 中一个基本的开放问题。
• 将此表征推广至非负 Ricci 曲率的黎曼流形，尽可能放松曲率假设。
• 为多项式增长的古解空间建立有限维结构。
• 将无穷远处的抛物型 Martin 边界识别为所有 $s > 0$ 的椭圆方程 $\Delta u - s u = 0$ 的 Martin 边界的并集。

提出的方法

• 利用正古解满足 $u(x, -t)$ 关于 $t$ 完全单调的性质，借助完全单调函数的 Bernstein 定理。
• 应用 Laplace 变换表示，将 $u(x,t)$ 表示为 $s \in [0, \infty)$ 上 $e^{st}$ 与 $\Delta h - s h = 0$ 的正解 $h(s,x)$ 的积分，其中 $\rho(s)$ 为 Borel 测度。
• 将解表示为 $u(x,t) = \int_0^\infty \int_{S^{n-1}} e^{st + \sqrt{s}\, x \cdot \xi} \, d\mu(\xi,s) \, d\rho(s)$，其中 $\mu$ 为球面上的 Borel 测度，$\rho$ 为 $[0,\infty)$ 上的测度。
• 利用逆 Laplace 变换和测度论论证，从满足椭圆方程的“类调和”函数族 $h(s,x)$ 恢复解。
• 应用 Harnack 不等式和 Choquet 定理，将解空间的极值点识别为椭圆方程的极小正解。
• 利用 Radon-Nikodym 导数，证明解的时间截面测度关于参考测度绝对连续，从而得到球面上特征函数的表示形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^n \times (-\infty, 0]$ 上，热方程所有正古解的完整集合是什么？
• RQ2 此类解的表示能否推广至非负 Ricci 曲率的黎曼流形？
• RQ3 在时间和空间上具有多项式增长的古解空间的结构是什么？
• RQ4 无穷远处的抛物型 Martin 边界与椭圆方程 $\Delta u - s u = 0$ 的 Martin 边界之间有何关系？
• RQ5 解空间能否分解为参数 $s > 0$ 的椭圆方程解的 Laplace 变换？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^n \times (-\infty, 0]$ 上，热方程所有正古解均可表示为 $u(x,t) = \int_0^\infty \int_{S^{n-1}} e^{st + \sqrt{s}\, x \cdot \xi} \, d\mu(\xi,s) \, d\rho(s)$，其中 $\mu$ 和 $\rho$ 为非负 Borel 测度。
• 解 $u(x, -t)$ 关于 $t$ 完全单调，使得可应用 Bernstein 定理推导出积分表示。
• 在非负 Ricci 曲率的黎曼流形上，正古解可表示为 $\Delta h - s h = 0$ 的正解的 Laplace 变换，但其公式形式不如欧几里得情形明确。
• 在空间和时间上具有多项式增长的古解线性空间为有限维，且此类解为时间的多项式。
• 无穷远处的抛物型 Martin 边界被识别为所有 $s > 0$ 的椭圆方程 $\Delta u - s u = 0$ 的 Martin 边界的并集，为解的结构提供了几何解释。
• 解的时间截面测度关于参考测度绝对连续，其 Radon-Nikodym 导数满足椭圆方程 $\Delta h = s h$，从而确认了谱分解。