[论文解读] On approximate Birkhoff-James orthogonality and normal cones in a normed space

‎Debmalya Sain, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文通过法锥的几何分析，研究了赋范空间中两种近似Birkhoff-James正交性的概念——基于Dragomir和Chmieliński的ε-正交性。研究发现，在二维光滑Banach空间中，两种近似正交性集合均为一个法锥及其相反集的并集，从而提供了完整的几何刻画，并给出了此类集合的唯一性定理。

ABSTRACT

We study two notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in a normed space, from a geometric point of view, and characterize them in terms of normal cones. We further explore the interconnection between normal cones and approximate Birkhoff-James orthogonality to obtain a complete characterization of normal cones in a two-dimensional smooth Banach space. We also obtain a uniqueness theorem for approximate Birkhoff-James orthogonality set in a normed space.

研究动机与目标

• 从几何角度研究赋范空间中两种不同的近似Birkhoff-James正交性概念。
• 以法锥为工具，刻画这些近似正交性集合，特别是在二维光滑Banach空间中的情形。
• 利用近似正交性集合的结构，对法锥给出完整的几何描述。
• 在一般赋范空间中证明近似Birkhoff-James正交性集合的唯一性定理。
• 阐明法锥与两种近似正交性之间的相互作用，表明在一般赋范空间中二者存在差异。

提出的方法

• 引入两种近似Birkhoff-James正交性类型：$ x ⊥_D^\rho y $ 定义为 $ \|x + \lambda y\| \geq (1 - \epsilon)\|x\| $，以及 $ x ⊥_B^\rho y $ 定义为 $ \|x + \lambda y\|^2 \geq \|x\|^2 - 2\epsilon\|x\|\|\lambda y\| $。
• 将集合 $ F(x, \epsilon) $ 和 $ G(x, \epsilon) $ 定义为满足各自近似正交性条件的所有 $ y $ 的集合。
• 引入赋范空间 $ \mathbb{X} $ 中法锥 $ K $ 的概念，满足 $ K + K \subset K $，$ \alpha K \subset K $ 对所有 $ \alpha \geq 0 $ 成立，且 $ K \cap (-K) = \{\theta\} $。
• 证明在二维光滑Banach空间中，有 $ F(x, \epsilon) = K_1 \cup (-K_1) $ 与 $ G(x, \epsilon) = K_2 \cup (-K_2) $，其中 $ K_1, K_2 $ 为法锥。
• 通过路径连通性论证，利用 $ \overline{B}(\alpha z, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ 的路径连通性，证明交集 $ G(x, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ 恰好有两个连通分支。
• 利用 $ G(x, \epsilon) $ 的对称性与闭性，说明每个分支对应一个法锥，从而得出分解式 $ G(x, \epsilon) = K \cup (-K) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋范空间中，两种不同的近似Birkhoff-James正交性概念能否通过几何方式刻画？
• RQ2 在二维光滑Banach空间中，法锥与集合 $ F(x, \epsilon) $ 和 $ G(x, \epsilon) $ 之间的确切关系是什么？
• RQ3 在光滑二维Banach空间中，$ G(x, \epsilon) $ 的结构能否被完全描述为一个法锥及其相反集的并集？
• RQ4 在一般赋范空间中，两种近似正交性是否产生相同的集合，还是存在差异？
• RQ5 是否存在关于法锥的唯一性性质，使得近似正交性集合 $ G(x, \epsilon) $ 可唯一确定？

主要发现

• 在二维光滑Banach空间中，有 $ F(x, \epsilon) = K_1 \cup (-K_1) $ 与 $ G(x, \epsilon) = K_2 \cup (-K_2) $，其中 $ K_1 $ 与 $ K_2 $ 为法锥。
• 对于单位球面上的光滑点 $ x \in S_\mathbb{X} $，集合 $ G(x, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ 恰好由两个关于原点对称的连通分支组成。
• 集合 $ G(x, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ 是单位球面上两个弧的并集，每个弧对应由两个单位向量生成的一个法锥。
• 证明依赖于证明 $ \overline{B}(\alpha z, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ 在 $ \alpha \in [1 - \epsilon, 1 + \epsilon] $ 时是路径连通的，从而确保并集的连通性。
• 在任意赋范空间中，$ G(x, \epsilon) $ 的法锥刻画成立，且 $ G(x, \epsilon) = \bigcup_{y \in \mathbb{X}} Q_{x,y}(\epsilon) $，其中每个 $ Q_{x,y}(\epsilon) $ 是一个二维法锥。
• 在一般赋范空间中，两种近似正交性并不重合，表明 $ F(x, \epsilon) $ 与 $ G(x, \epsilon) $ 的构成法锥可能不同。