[论文解读] On Approximating Optimal Weighted Lobbying, and Frequency of Correctness versus Average-Case Polynomial Time

Gábor Erdélyi, Lane A. Hemaspaandra+2 more|ArXiv.org|Mar 20, 2007

Auction Theory and Applications参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文提出了一种贪心算法，针对投票系统中加权利害关系人问题的最优解，实现了对数时间复杂度的近似比。此外，本文证明了在均匀分布下，所有平均情况多项式时间可解的问题均存在频繁自知正确性多项式时间算法，并对使用 junta 分布作为平均情况复杂性模型的做法提出批评。

ABSTRACT

We investigate issues related to two hard problems related to voting, the optimal weighted lobbying problem and the winner problem for Dodgson elections. Regarding the former, Christian et al. [CFRS06] showed that optimal lobbying is intractable in the sense of parameterized complexity. We provide an efficient greedy algorithm that achieves a logarithmic approximation ratio for this problem and even for a more general variant--optimal weighted lobbying. We prove that essentially no better approximation ratio than ours can be proven for this greedy algorithm. The problem of determining Dodgson winners is known to be complete for parallel access to NP [HHR97]. Homan and Hemaspaandra [HH06] proposed an efficient greedy heuristic for finding Dodgson winners with a guaranteed frequency of success, and their heuristic is a ``frequently self-knowingly correct algorithm.'' We prove that every distributional problem solvable in polynomial time on the average with respect to the uniform distribution has a frequently self-knowingly correct polynomial-time algorithm. Furthermore, we study some features of probability weight of correctness with respect to Procaccia and Rosenschein's junta distributions [PR07].

研究动机与目标

• 为加权利害关系人问题设计一种高效的近似算法，其中影响不同选民的成本各不相同。
• 将该近似结果扩展至 Christian 等人（2006 年）研究的原始无权利害关系人问题。
• 探讨平均情况多项式时间可解性与频繁自知正确性算法存在性之间的关系。
• 分析 Procaccia 和 Rosenschein 所提出的 junta 分布作为平均情况复杂性模型的有效性与局限性。
• 阐明正确性频率结果并不等价于平均情况复杂性，而仅涉及正确性概率权重。

提出的方法

• 提出一种贪心算法，通过迭代选择单位成本影响比最高的选民，以最小化实现目标结果的总成本。
• 证明该贪心算法对加权和无权利害关系人问题均能达到 O(log n) 的对数时间近似比。
• 表明使用标准分析技术无法为该贪心方法证明更优的近似比。
• 引入并形式化了“频繁自知正确”算法的概念，即算法能够以高频率检测自身是否正确。
• 证明：在均匀分布下，所有平均情况多项式时间可解的问题均存在此类频繁自知正确性多项式时间算法。
• 分析了 junta 分布（由 Procaccia 和 Rosenschein 定义），并证明在基本条件下，所有 NP-难集合均可多项式时间映射归约至确定性启发式多项式时间中的集合，揭示了该模型的过度包容性及其对编码的敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 贪心算法能否为最优加权利害关系人问题提供可证明良好的近似比？
• RQ2 平均情况多项式时间可解性与频繁自知正确性算法的存在性之间是否存在关联？
• RQ3 Procaccia 和 Rosenschein 所提出的 junta 分布是否能作为平均情况复杂性的有效或有意义的模型？
• RQ4 确定性启发式多项式时间的概念能否有意义地应用于 NP-难集合？其局限性是什么？
• RQ5 正确性频率结果是否等价于平均情况复杂性结果，还是代表了另一种分析类型？

主要发现

• 所提出的贪心算法对最优加权利害关系人问题实现了 O(log n) 的近似比，且该界对该算法而言本质上是紧的。
• 在均匀分布下，所有平均情况多项式时间可解的问题均存在频繁自知正确性多项式时间算法。
• 在基本 junta 条件下，每个 NP-难集合均可多项式时间映射归约至确定性启发式多项式时间中的集合，表明该模型过于包容。
• 确定性启发式多项式时间概念不封闭于多项式时间同构，揭示了该模型的根本局限性。
• 本文认为，正确性频率结果（如正确性概率权重）并不等价于平均情况复杂性，而代表了一种不同的分析框架。
• 研究表明，junta 分布模型对编码细节高度敏感，甚至可能赋予不可判定集合（如 SAT ⊕ HP）启发式多项式时间，导致极端行为。