[论文解读] On Approximating Partial Set Cover and Generalizations

Chandra Chekuri, Kent Quanrud+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文通过利用亚模性与线性规划（LP）舍入，改进了部分集合覆盖（Partial-SC）及其推广问题的近似算法。提出了针对 Partial-SC 的 $(1 - 1/e)(\beta + 1)$-近似算法，优于先前的 $2(\beta + 1)$-近似算法，并通过使用多线性扩展与集中不等式的新颖分析，将结果推广至多重覆盖约束情形。

ABSTRACT

Partial Set Cover (PSC) is a generalization of the well-studied Set Cover problem (SC). In PSC the input consists of an integer $k$ and a set system $(U,S)$ where $U$ is a finite set, and $S \subseteq 2^U$ is a collection of subsets of $U$. The goal is to find a subcollection $S' \subseteq S$ of smallest cardinality such that sets in $S'$ cover at least $k$ elements of $U$; that is $|\cup_{A \in S'} A| \ge k$. SC is a special case of PSC when $k = |U|$. In the weighted version each set $X \in S$ has a non-negative weight $w(X)$ and the goal is to find a minimum weight subcollection to cover $k$ elements. Approximation algorithms for SC have been adapted to obtain comparable algorithms for PSC in various interesting cases. In recent work Inamdar and Varadarajan, motivated by geometric set systems, obtained a simple and elegant approach to reduce PSC to SC via the natural LP relaxation. They showed that if a deletion-closed family of SC admits a $β$-approximation via the natural LP relaxation, then one can obtain a $2(β+ 1)$-approximation for PSC on the same family. In a subsequent paper, they also considered a generalization of PSC that has multiple partial covering constraints which is partly inspired by and generalizes previous work of Bera et al on the Vertex Cover problem. Our main goal in this paper is to demonstrate some useful connections between the results in previous work and submodularity. This allows us to simplify, and in some cases improve their results. We improve the approximation for PSC to $(1-1/e)(β+ 1)$. We extend the previous work to the sparse setting.

研究动机与目标

• 通过亚模函数分析，将部分集合覆盖（Partial-SC）的近似比改进至优于先前的 $2(\beta+1)$-近似。
• 将 [BGKR14, IV18b] 的结果推广至稀疏集合系统与多重覆盖约束情形。
• 通过亚模性与多线性扩展的视角，统一并简化现有 Partial-SC 及其变体的处理方法。
• 在删除封闭族中，为 Partial-SC 提供更紧的近似保证，其中集合覆盖问题可通过 LP 实现 $\beta$-近似。
• 通过使用椭球法与 KC 不等式作为分离 oracle，将基于 LP 的舍入技术推广至如分区集合覆盖（Partition-SC）等多约束问题。

提出的方法

• 通过自然的 LP 松弛将 Partial-SC 约化为集合覆盖问题，使用与原始集合覆盖实例相同的 LP。
• 对分数 LP 解施加随机舍入过程，关键步骤涉及对按 $\tau$ 缩放的变量进行独立舍入。
• 使用覆盖函数的多线性扩展 $G(x)$ 分析期望性能，利用亚模优化中已知的集中不等式。
• 采用两阶段舍入过程：首先通过独立舍入采样集合 $Y_1, Y_2$，然后对剩余覆盖需求 $b'_k$ 进行条件处理。
• 应用集中不等式（引理 2.4）证明：当 $\tau \leq (1 - 1/e)/4$ 时，剩余覆盖至少为 $b'_k$ 的概率大于 0.78。
• 使用椭球法并以 KC 不等式作为分离 oracle，确保分数解满足性能保证所需的约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过亚模分析，将 Partial-SC 的近似比改进至优于 $2(\beta + 1)$？
• RQ2 Partial-SC 的结果在多部分覆盖约束情形（如 Partition-SC）下，其推广程度如何？
• RQ3 当底层集合系统稀疏时（特别是几何或低频场景），该算法的性能保证是否仍可保持？
• RQ4 对于多约束亚模集合覆盖问题，能否实现单参数近似（而非双参数近似）？
• RQ5 能否避免或替换对椭球法与 KC 不等式作为分离 oracle 的依赖，转而使用更高效的 LP 求解技术？

主要发现

• 在删除封闭族中，本文为 Partial-SC 实现了 $(1 - 1/e)(\beta + 1)$-近似，其中集合覆盖问题可通过标准 LP 实现 $\beta$-近似。
• 相较于先前的 $2(\beta + 1)$-近似，改进源于对多线性扩展与集中不等式的更紧分析。
• 对于多约束的分区集合覆盖（Partition-SC）问题，该方法可推广至稀疏集合系统，在相同假设下仍保持常数因子近似。
• 分析表明，当 $\tau \leq (1 - 1/e)/4$ 时，随机舍入过程以至少 0.78 的概率满足剩余覆盖需求 $b'_k$。
• 即使分数解不满足所有 KC 不等式，通过使用基于这些不等式的分离 oracle 的椭球法，性能保证依然成立。
• 结果表明，亚模函数的性质——尤其是多线性扩展及其集中性——可用于统一并强化先前针对广义集合覆盖问题的近似算法。