[论文解读] On Approximating Restricted Cycle Covers

Bodo Manthey|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2005

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用 10

一句话总结

本文研究了在有向图和无向图中计算最大权 L-圈覆盖的复杂性和可近似性，其中圈的长度被限制在集合 L 中。研究证明，对于几乎所有 L，该问题为 APX-难，但仍为无向图提供了 2-近似算法，为有向图提供了 8/3-近似算法，尽管问题本身难以求解，但建立了强有力的近似保证。

ABSTRACT

A cycle cover of a graph is a set of cycles such that every vertex is part of exactly one cycle. An L-cycle cover is a cycle cover in which the length of every cycle is in the set L. The weight of a cycle cover of an edge-weighted graph is the sum of the weights of its edges. We come close to settling the complexity and approximability of computing L-cycle covers. On the one hand, we show that for almost all L, computing L-cycle covers of maximum weight in directed and undirected graphs is APX-hard and NP-hard. Most of our hardness results hold even if the edge weights are restricted to zero and one. On the other hand, we show that the problem of computing L-cycle covers of maximum weight can be approximated within a factor of 2 for undirected graphs and within a factor of 8/3 in the case of directed graphs. This holds for arbitrary sets L.

研究动机与目标

• 刻画在有向图和无向图中计算最大权 L-圈覆盖的复杂性和可近似性。
• 确定对于哪些集合 L，该问题仍为可 tractable 或变为不可 tractable。
• 为 L-圈覆盖问题开发具有常数性能保证的多项式时间近似算法。
• 弥合受限圈覆盖问题中 NP-难与可近似性之间的差距。
• 识别无向图中仍为开放问题的案例，即多项式时间可解性尚未解决的案例。

提出的方法

• 作者通过基于被排除圈长度的分类方法分析 L-圈覆盖的结构，特别关注如 2、3 和 4 这类小圈。
• 他们使用动态规划计算 D(n,L)，即能覆盖 n 个顶点且圈长度属于 L 的最大圈数，以界定最优解的大小。
• 在近似方面，他们将初始圈覆盖分解为匹配，并通过重新组合边来形成有效的 L-圈覆盖，同时保留至少常数比例的最优权重。
• 当 2 和 3 属于 L 时，他们通过从偶圈和奇圈中每隔一条边选取的方式构造一个 {2,3}-圈覆盖，保留至少一半的权重。
• 他们应用已知的匹配算法和增广路径定理以获得结构洞见，尤其针对被排除集合较小的 L。
• 有向图的近似算法采用两阶段方法：首先计算一个一般圈覆盖，然后通过边的选择与反转将其转换为 L-圈覆盖，以保留权重。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些集合 L，计算无向图中最大权 L-圈覆盖是 NP-难或 APX-难？
• RQ2 是否能为所有有向图中的 L-圈覆盖问题实现常数因子近似？
• RQ3 当 L 排除某些小圈长度时，无向图中 L-圈覆盖的最佳可能近似比是多少？
• RQ4 是否存在结构特性或增广路径定理，有助于识别 L-圈覆盖的多项式时间可解情况？
• RQ5 为何某些被排除集合较小的 L-圈覆盖问题仍为开放问题，尽管已有相关定理？

主要发现

• 对于几乎所有 L，计算有向图和无向图中最大权 L-圈覆盖的问题均为 APX-难，即使边权被限制为 0 和 1。
• 对于任意非空 L ⊆ {3,4,5,…}，无向图中最大权 L-圈覆盖存在 2-近似算法。
• 对于任意非空 L ⊆ {2,3,4,…}，有向图中最大权 L-圈覆盖提供了 8/3-近似算法。
• 有向图中唯一多项式时间可解的情况是当 L = {2} 或 L = {2,3,4,…}，否则该问题为 NP-难且 APX-难。
• 对于无向图，仍有五个情况为开放问题：当 L 的补集为 {4} 或 {3,4} 时的 L-圈覆盖问题，以及 4-圈覆盖问题。
• 本文证明，仅当 L 包含所有圈长度，或分别排除 3 或 4 时，计算最大权 L-圈覆盖的问题才属于 PO（多项式时间可解）。