[论文解读] On Approximation, Bounding & Exact Calculation of Block Error Probability for Random Code Ensembles

Ralf R. Müller|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2020

Wireless Communication Security Techniques参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的二维投影方法，可精确计算各种信道（包括AWGN、BSC和BEC）上随机码集合的平均块错误概率。通过运用三角学简化高维几何结构，该方法实现了对球形、高斯和二进制随机码的精确计算，得到更紧致的界和高效的近似，尤其适用于短码长和高码率情形。

ABSTRACT

This paper presents a method to calculate the exact average block error probability of some random code ensembles under maximum-likelihood decoding. The proposed method is applicable to various channels and ensembles. The focus is on both spherical and Gaussian random codes on the additive white Gaussian noise channel as well as binary random codes on both the binary symmetric channel and the binary erasure channel. While for the uniform spherical ensemble Shannon, in 1959, argued with solid angles in $N$-dimensional space, the presented approach projects the problem into two dimensions and applies standard trigonometry. This simplifies the derivation and also allows for the analysis of the independent identically distributed (i.i.d.) Gaussian ensemble which turns out to perform better for short blocklengths and high rates. Moreover, a new lower bound on the average block error probability of the uniform spherical ensemble is found. For codes with more than three codewords, it is tighter than the sphere packing bound, but requires exactly the same computing effort. Furthermore, tight approximations are proposed to simplify the computation of both the exact average error probability and the two bounds. For the binary symmetric channel and the binary erasure channel, bounds on the average block error probability for i.i.d. random coding are derived and compared to the exact calculations.

研究动机与目标

• 开发一种在多种随机码集合和信道上精确计算平均块错误概率的方法。
• 解决随机编码理论中高维错误概率带来的计算与分析挑战。
• 通过推导均匀球形码的更紧致下界，改进现有界（尤其是球体打包界）。
• 提供简化精确计算而不损失准确性的高效近似。
• 将精确结果与i.i.d.高斯码和二进制随机码在BSC和BEC上的界进行比较。

提出的方法

• 利用几何三角学将高维错误概率问题投影到二维，简化N维球形码和高斯码的分析。
• 应用标准三角恒等式，计算投影平面上码字之间的成对错误概率。
• 推导出在最大似然译码下球形码、高斯码和二进制随机码的平均块错误概率的精确表达式。
• 提出一种针对均匀球形码的平均块错误概率的新下界，其紧致性优于球体打包界。
• 提出紧致的解析近似，以降低精确错误概率和界评估的计算复杂度。
• 推导出i.i.d.高斯码和二进制随机码在BSC和BEC上的界，并通过与精确计算结果对比加以验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过简化的几何方法，精确计算多种信道上随机码集合的平均块错误概率？
• RQ2 在短码长和高码率下，i.i.d.高斯码相较于均匀球形码在错误概率方面的性能增益如何？
• RQ3 能否推导出一种比球体打包界更紧致的均匀球形码平均块错误概率下界？
• RQ4 所提出的近似在估计不同码集合和信道下的精确错误概率时，其准确性如何？
• RQ5 i.i.d.随机编码在二元对称信道和二元擦除信道上的解析界是什么？它们与精确结果相比如何？

主要发现

• 所提出的二维投影方法可精确计算球形码、高斯码和二进制随机码在多个信道上的平均块错误概率。
• 精确错误概率计算结果证实，i.i.d.高斯码集合在短码长和高码率下优于均匀球形码集合。
• 推导出一种针对均匀球形码的平均块错误概率的新下界，其紧致性优于球体打包界，且计算量相同。
• 该新界适用于码字数超过三个的码，显著提升了紧致性，而无需增加复杂度。
• 提出了紧致的近似方法，可准确估计精确错误概率和推导出的界，显著降低了计算负载。
• 对于BSC和BEC，推导出i.i.d.随机编码的平均块错误概率的解析界，其结果与精确值高度吻合，验证了其在实际中的可用性。