[论文解读] On approximation of topological groups by finite algebraic systems

Lev Glebsky, E. I. Gordon|ArXiv.org|Jan 11, 2002

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文研究了通过有限代数系统（特别是有限半群、拟群及左/右拟群）对局部紧致拓扑群进行逼近的问题。利用非标准分析，证明了任意局部紧致群均可被有限左或右拟群逼近，且有限拟群逼近的可行性蕴含单模性——尽管其逆命题仍为开放问题。离散群被证明可被有限拟群逼近，且有限半群逼近等价于有限群逼近。

ABSTRACT

It is known that locally compact groups approximable by finite ones are unimodular, but this condition is not sufficient, for example, the simple Lie groups are not approximable by finite ones as topological groups. In this paper the approximations of locally compact groups by more general finite algebraic systems are investigated. It is proved that the approximation of locally compact groups by finite semigroups is equivalent to approximation by finite groups and thus not all locally compact groups are approximable by finite semigroups. We prove that any locally compact group is approximable by finite left (right) quasigroups but the approximabilty of a locally compact group by finite quasigroups (latin squares) implies its unimodularity. The question if the unimodularity of a locally compact group implies its approximability by finite quasigroups is open. We prove only that the discrete groups are approximable by finite quasigroups.

研究动机与目标

• 研究局部紧致拓扑群是否可被比有限群更一般的有限代数系统逼近。
• 确定此类逼近存在的条件，尤其聚焦于半群、拟群及左/右拟群。
• 阐明单模性与有限拟群逼近之间的关系，该条件已被证明为必要但尚未被证明为充分。
• 利用非标准分析技术，将群逼近理论扩展至有限群之外。

提出的方法

• 利用非标准分析，通过内部超有限代数构造局部紧致群的超有限逼近。
• 通过紧致集 C 和有限开覆盖 U 定义 (C, U)-逼近，以形式化有限代数的逼近。
• 应用传递原理，在超有限半群中构造内部理想链，并分析其商代数。
• 利用 Rees 半群构造法刻画 0-单有限半群，并通过其最大子群将其与群联系起来。
• 在 C₀(A) 上应用函数不等式，推导线性泛函的不变性性质，将其与哈尔测度的不变性联系起来。
• 采用近乎同态与内部逼近的概念，表明在特定条件下，超有限子半群可生成超有限群。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个局部紧致群是否都可被有限左或右拟群逼近？
• RQ2 局部紧致群的单模性是否蕴含其可被有限拟群逼近？
• RQ3 有限半群逼近是否等价于有限群逼近？
• RQ4 能否根据其代数结构刻画不可逼近的离散群？
• RQ5 非标准分析在简化逼近定理证明中起到何种作用？

主要发现

• 任意局部紧致群均可被有限左和右拟群逼近。
• 有限拟群逼近的可行性蕴含单模性，因为从逼近条件可推出 C₀(A) 上存在左/右不变泛函。
• 有限半群逼近等价于有限群逼近，意味着此类群也必须是单模的。
• 所有离散群均可被有限拟群逼近，从而将可逼近群的类扩展至局部残余有限群之外。
• 若子半群为 0-单且非零，则在群逼近中，超有限半群的超有限商代数为超有限群，此结果由 Rees 半群结构决定。
• 尚未解决的问题是：单模性本身是否足以保证局部紧致群可被有限拟群逼近。