[论文解读] On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox-Ingersoll-Ross processes and squared Bessel processes

Mario Hefter, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文证明，使用驱动布朗运动的等距离散化对Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程及平方非中心Bessel过程进行强近似时，其收敛速度在强意义下可任意缓慢。关键结果表明，收敛速率受 $ N^{-2a/ ho^2} $ 限制，其中 $ 0 < 2a < ho^2 $，证明了金融领域中标准方法的收敛速度可能任意缓慢，因此亟需开发非等距采样的新方案以实现高效计算。

ABSTRACT

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes are extensively used in state-of-the-art models for the approximative pricing of financial derivatives. In particular, CIR processes are day after day employed to model instantaneous variances (squared volatilities) of foreign exchange rates and stock prices in Heston-type models and they are also intensively used to model short-rate interest rates. The prices of the financial derivatives in the above mentioned models are very often approximately computed by means of explicit or implicit Euler- or Milstein-type discretization methods based on equidistant evaluations of the driving noise processes. In this article we study the strong convergence speeds of all such discretization methods. More specifically, the main result of this article reveals that each such discretization method achieves at most a strong convergence order of $δ/2$, where $0

研究动机与目标

• 研究金融建模中用于CIR过程的标准数值格式的强收敛行为。
• 确定CIR过程与平方非中心Bessel过程的等距离散化方法在实际中是否可实现合理的收敛速率。
• 证明此类格式即使在所有矩有界的情况下，其收敛速度也可能任意缓慢。
• 揭示在非Lipschitz型SDE背景下，当前数值方法在金融应用中的根本局限性。
• 推动开发新型、更复杂的近似格式，以避免对布朗运动进行等距采样。

提出的方法

• 作者通过精心设计的停止时间，基于时间改变的布朗运动框架构造了一类CIR过程与平方非中心Bessel过程。
• 推导了基于布朗运动等距取值的任何离散化方案与真实过程之间强 $ L^1 $-距离的下界。
• 分析利用了比较原理、矩界估计以及平方非中心Bessel过程的标度性质，将CIR过程与维度为 $ \rho $ 的平方非中心Bessel过程建立联系。
• 关键技术步骤包括构造具有特定条件分布的随机时间与布朗运动，以控制 hitting time 的概率。
• 证明依赖于一个变换，将原始CIR过程映射到区间 [0,1] 上的归一化平方非中心Bessel过程，从而可应用已知的下界结果。
• 最终结果通过将变换后的过程与归一化情形下已知的 $ L^1 $-距离下界相结合，得到收敛速率的普遍下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用布朗运动的等距取值时，CIR过程的标准强数值格式的收敛速率是否可能快于 $ N^{-2a/ ho^2} $？
• RQ2 即使在矩有界的条件下，此类格式的强收敛速率是否可能任意缓慢？
• RQ3 对于依赖于驱动布朗运动等距采样的所有离散化方法，CIR过程强近似的收敛速度是否存在根本性限制？
• RQ4 关联平方非中心Bessel过程的维度参数 $ \delta $ 如何影响强近似收敛速率？
• RQ5 CIR过程的结构中是否存在内在障碍，导致标准等距格式无法实现高效的强近似？

主要发现

• 任何使用布朗运动等距取值的CIR过程数值格式的强收敛速率最多为 $ N^{-2a/ ho^2} $，其中 $ 2a < ho^2 $。
• 对于参数为 $ T, a, \sigma, b, x $ 的CIR过程，其期望 $ L^1 $-误差下界为 $ c \cdot N^{-2a/ ho^2} $，其中 $ c > 0 $ 为与格式无关的常数。
• 当 $ 2a \to 0 $ 时，收敛速率可任意缓慢，即使解的所有矩均保持有界。
• 该结果适用于所有仅依赖于驱动布朗运动等距取值的格式，包括显式与隐式欧拉法及米尔斯坦型方法。
• 该下界是紧的，通过映射至维度 $ \delta = 4a/ ho^2 \in (0,2) $ 的归一化平方非中心Bessel过程推导得出。
• 这意味着当前用于Heston模型与短利率模型衍生品定价的工业标准方法，在实际中可能以不可接受的缓慢速度收敛。