[论文解读] On arc-disjoint Hamiltonian cycles in De Bruijn graphs

Zoltán Kása|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文研究了在 $ q/\geq 2 $，$ k > 1 $ 的情况下，De Bruijn 图 $ B(q,k) $ 中是否存在 $ q-1 $ 条弧不相交的哈密顿回路。论文提出了一种基于同态的构造方法，利用 $ \tau $-shifts 从一条 De Bruijn 字符串生成 $ q-1 $ 条回路，其关键结果为：当该字符串及其在 $ q-1 $ 次同态 $ \mu $ 迭代下的像构成一个包含 $ q-1 $ 条不同回路的等价类时，这些回路是弧不相交的。

ABSTRACT

We give two equivalent formulations of a conjecture [2,4] on the number of arc-disjoint Hamiltonian cycles in De Bruijn graphs.

研究动机与目标

• 为解决关于 De Bruijn 图 $ B(q,k) $ 中弧不相交哈密顿回路最大数量的长期猜想。
• 建立一种构造性方法，通过 De Bruijn 字符串上的同态 $ \mu $ 生成 $ q-1 $ 条弧不相交的哈密顿回路。
• 证明从单个 De Bruijn 字符串及其 $ \mu $-变换生成的回路在 $ q > 2 $，$ k > 1 $ 时是弧不相交的。
• 表明此类回路的数量与理论上的上界 $ q-1 $ 相符，从而在特定情况下确认了该猜想。
• 以同态 $ \mu $ 作用下 De Bruijn 字符串的等价类形式重新表述该猜想。

提出的方法

• 定义 De Bruijn 图 $ B(q,k) $，其顶点集为 $ \mathcal{A}^k $，弧集为 $ \mathcal{A}^{k+1} $，邻接关系基于重叠子串。
• 使用定义在字母表 $ \{0,1,\dots,q-1\} $ 上的同态 $ \mu $，其定义为 $ \mu(0) = 0 $，$ \mu(i) = i+1 $（当 $ 1 \leq i < q-1 $ 时），且 $ \mu(q-1) = 1 $，该同态满足对任意字符串 $ u $ 有 $ \mu^{q-1}(u) = u $。
• 通过将 $ \mu^k $ 作用于单个 De Bruijn 字符串 $ B_0 $（$ k = 1 $ 到 $ q-2 $），生成 $ q-1 $ 条哈密顿回路 $ H_0, H_1, \dots, H_{q-2} $。
• 通过证明对应字符串 $ B_k = \mu^k(B_0) $ 互不相同且其弧集互不相交，来证明回路 $ H_0, H_1, \dots, H_{q-2} $ 是弧不相交的。
• 建立由 $ \mu $ 诱导的等价关系，该关系将 De Bruijn 字符串集合划分为大小为 $ q-1 $ 的等价类，并证明若此类等价类包含 $ q-1 $ 条弧不相交的回路，则该猜想成立。
• 通过具体示例验证该构造：$ B(3,2) $、$ B(3,3) $、$ B(4,2) $ 和 $ B(5,2) $，其中明确列出了 $ q-1 $ 条弧不相交的回路并予以确认。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ q \geq 2 $，$ k > 1 $ 的 De Bruijn 图 $ B(q,k) $，是否恰好存在 $ q-1 $ 条弧不相交的哈密顿回路？
• RQ2 是否可以使用单个 De Bruijn 字符串，通过重复应用同态 $ \mu $ 来生成 $ q-1 $ 条弧不相交的哈密顿回路？
• RQ3 是否存在一个 De Bruijn 字符串 $ B_0 $，使得其在 $ k = 1, \dots, q-2 $ 时的像 $ \mu^k(B_0) $ 生成 $ q-1 $ 条互不相同的哈密顿回路，且这些回路两两弧不相交？
• RQ4 同态 $ \mu $、De Bruijn 字符串的等价类与弧不相交哈密顿回路的结构之间存在何种关系？
• RQ5 能否将关于弧不相交哈密顿回路数量的猜想，以 $ \mu $ 在 De Bruijn 字符串上作用的轨道结构形式重新表述？

主要发现

• 对于 $ B(3,2) $，回路 $ H_0 = 0011220210 $ 和 $ H_1 = 0022110120 $ 是弧不相交的，证实存在 $ q-1 = 2 $ 条此类回路。
• 对于 $ B(3,3) $，回路 $ H_0 = 00010021011022202012111221200 $ 和 $ H_1 = 00020012022011101021222112100 $ 是弧不相交的，支持了 $ q=3 $，$ k=3 $ 时的猜想。
• 对于 $ B(4,2) $，通过 $ \mu $ 和 $ \mu^2 $ 从 $ B_0 = 00102113230331220 $ 衍生出的三条回路 $ H_0, H_1, H_2 $ 是弧不相交的，验证了存在 $ q-1 = 3 $ 条回路。
• 对于 $ B(5,2) $，通过 $ \mu $、$ \mu^2 $、$ \mu^3 $ 从 $ B_0 = 00102112041422430332313440 $ 衍生出的四条回路 $ H_0, H_1, H_2, H_3 $ 是弧不相交的，确认了存在 $ q-1 = 4 $ 条回路。
• 同态 $ \mu $ 满足 $ \mu^{q-1}(u) = u $，确保任意字符串在 $ \mu $ 作用下的轨道大小整除 $ q-1 $，且该构造依赖于这些轨道形成大小为 $ q-1 $ 的完整循环。
• 该猜想等价于存在一个 De Bruijn 字符串 $ B_0 $，使得 $ q-1 $ 个字符串 $ \mu^k(B_0) $（$ k=0,1,\dots,q-2 $）互不相同，并在 $ B(q,k) $ 中生成弧不相交的哈密顿回路。