[论文解读] On arithmetic general theorems for polarized varieties

Nathan Grieve|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文利用 Schmidt 的子空间定理与滤子技术，建立了关于数域和函数域上极化代数簇的算术一般定理。该研究推广了 Ru-Vojta 与 McKinnon-Roth 的结果，证明了关于例外除子的 Roth 定理形式，并通过线丛的体积不变量，给出了 Fano 代数簇上 Vojta 主不等式成立的充分条件。

ABSTRACT

We apply Schmidt's Subspace Theorem to establish Arithmetic General Theorems for projective varieties over number and function fields. Our first result extends an analogous result of M. Ru and P. Vojta. One aspect to its proof makes use of a filtration construction which appears in work of Autissier. Further, we consider work of M. Ru and J. T.-Y. Wang, which pertains to an extension of K. F. Roth's theorem for projective varieties in the sense of D. McKinnon and M. Roth. Motivated by these works, we establish our second Arithmetic General Theorem, namely a form of Roth's theorem for exceptional divisors. Finally, we observe that our results give, within the context of Fano varieties, a sufficient condition for validity of the main inequalities predicted by Vojta.

研究动机与目标

• 通过 Schmidt 的子空间定理，将极化代数簇在数域和函数域上的算术一般定理进行扩展。
• 通过建立关于例外除子的 Roth 型定理，推广 Ru-Vojta 与 McKinnon-Roth 的结果。
• 利用渐近体积常数，为 Fano 代数簇上 Vojta 主猜想的成立提供充分条件。
• 通过 Weil 函数与离散测度，统一代数几何、几何不变量理论与 Okounkov 体理论的技术方法。

提出的方法

• 将 Schmidt 的子空间定理应用于数域与函数域上射影代数簇的滤子线性系列。
• 采用受 Autissier 与 Corvaja-Zannier 启发的滤子构造，以控制有理点处的零点阶数。
• 利用离散测度的期望来表达渐近体积常数，提升概念清晰度。
• 引入体积不变量 $\beta(L, D_i)$ 以度量线丛 $L$ 与除子 $D_i$ 拉直后截面的渐近增长，推广经典体积理论。
• 通过基簇调整与线性等价性，将 Vojta 不等式的证明约化至反 canonical 线丛的情形。
• 利用沿子概形的 blowing-up 操作分析例外除子，并在对数极小阈值的背景下应用主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，算术一般定理在数域与函数域上的极化代数簇上成立，从而推广 Ru-Vojta 的经典结果？
• RQ2 能否为 Fano 代数簇中由子簇的 blowing-up 所产生的例外除子建立 Roth 定理的形式？
• RQ3 体积不变量 $\beta(-\pi^*K_X, E_i)$ 在决定 Vojta 主不等式有效性方面起何种作用？
• RQ4 Weil 函数与 Seshadri 常数在子概形及其例外除子的背景下如何相互作用？
• RQ5 线丛的渐近体积在多大程度上可控制有理点在真子簇外的分布？

主要发现

• 本文建立了广义算术定理（定理 4.1），将 Ru-Vojta 的结果推广至函数域，并通过离散测度的期望实现概念上的改进。
• 证明了关于例外除子的 Roth 定理形式（推论 1.2），表明当 $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ 时，在真子簇外，接近函数 $m_S(x,E)$ 被 $\epsilon h_{-\pi^*K_X}(x)$ 有界。
• 对于满足 $-K_X$ 为 $\mathbb{Q}$-ample 的 Fano 代数簇，若对所有 $i$ 有 $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$，则 Vojta 的主不等式成立，常数依赖于 $\epsilon$。
• 证明通过线性等价性将一般情形约化至反 canonical 线丛，表明若不等式对 $M = -K_X$ 成立，则对所有大线丛 $M$，调整常数后亦成立。
• 该方法给出了有效界：对任意 $\epsilon > 0$，存在常数 $a_\epsilon, b_\epsilon > 0$，使得在真子簇外，要么 $h_{-K_X}(x) \leq a_\epsilon$，要么 $\sum_{v\in S}\lambda_{Y,v}(x) + h_{K_X}(x) \leq \epsilon h_M(x) + b_\epsilon$。
• 结果确认了体积理论条件 $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ 是 Fano 情形下 Vojta 猜想不等式成立的充分条件。