[论文解读] On Artin L-functions and Gassmann Equivalence for Global Function Fields

Pavel Solomatin|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文通过使用诱导表示的Artin L函数，建立了全局函数域之间算术等价性的判别准则，将Perlis定理由数域推广至函数域。证明了两个函数域算术等价当且仅当其与伽罗瓦群的诱导表示相关的Artin L函数相等，从而提供了一种通过有限个L函数列表来区分非同构域的方法，并利用椭圆曲线上的扭点构造了具体例子。

ABSTRACT

In this paper we present an approach to study arithmetical properties of global function fields by working with Artin L-functions. In particular we recall and then extend a criteria of two function fields to be arithmetically equivalent in terms of Artin L-functions of representations associated to the common normal closure of those fields. We provide few examples of such non-isomorphic fields and also discuss an algorithm to construct many such examples by using torsion points on elliptic curves. Finally, we will show how to apply our results in order to distinguish two global fields by a finite list of Artin L-functions.

研究动机与目标

• 将Perlis关于算术等价数域的定理推广至全局函数域，使用Artin L函数。
• 基于诱导表示的Artin L函数相等，提供函数域算术等价性的判别准则。
• 通过椭圆曲线上的扭点，构造非同构但算术等价的函数域的显式例子。
• 证明有限个Artin L函数列表足以区分任意两个全局函数域。

提出的方法

• 设两个函数域 $K$ 和 $K'$ 关于 $\mathbb{F}_q(x)$ 的伽罗瓦闭包为 $N$，其伽罗瓦群为 $G=\operatorname{Gal}(N/\mathbb{F}_q(x))$。
• 定义 $H=\operatorname{Gal}(N/K)$ 和 $H'=\operatorname{Gal}(N/K')$，并考虑复表示 $\alpha$ 和 $\alpha'$ 的诱导表示 $\psi = \operatorname{Ind}^G_H(\alpha)$ 与 $\psi' = \operatorname{Ind}^G_{H'}(\alpha')$。
• 建立 Artin L函数等式 $L_K(\alpha \otimes \rho_i|_H) = L_{K'}(\alpha' \otimes \rho_i|_{H'})$ 对所有不可约表示 $\rho_i$ 成立，与Gassmann三元组条件等价。
• 应用类域论，构造在特定素点处分歧的 $l$ 次循环扩张，利用射影类群及度数被 $l-1$ 整除的素点的范数。
• 通过 $N$ 与 $K$ 的适当 $l$-扩张的复合，构造 $F=\mathbb{F}_q(t)$ 上的伽罗瓦扩张 $M$，使得 $\operatorname{Gal}(M/F) \simeq C_l^n \rtimes G$。
• 利用Schur–Zassenhaus定理证明扩张可裂，确保半直积结构，并通过 $G$ 作用下不同的分歧行为验证 $N$ 上的 $C_l$-扩张的线性不相交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过诱导表示的Artin L函数相等来刻画全局函数域的算术等价性？
• RQ2 函数域中Dedekind zeta函数无法检测分裂类型，是否意味着必须使用其他L函数作为等价性准则？
• RQ3 能否系统地利用椭圆曲线上的扭点构造非同构的函数域？
• RQ4 有限个Artin L函数列表是否足以区分任意两个非同构的全局函数域？
• RQ5 在函数域设定下，Gassmann三元组条件与L函数等式之间有何关系？

主要发现

• 本文证明：两个函数域 $K$ 和 $K'$ 算术等价当且仅当对伽罗瓦群 $G$ 的所有不可约表示 $\rho_i$，有 $L_K(\alpha \otimes \rho_i|_H) = L_{K'}(\alpha' \otimes \rho_i|_{H'})$。
• 该判别准则通过将Nagata的结果从平凡表示推广至子群 $H$ 和 $H'$ 的任意复表示 $\alpha$ 和 $\alpha'$，实现了推广。
• 作者通过利用 $\mathbb{F}_q$ 上椭圆曲线的扭点，构造了无穷多对非同构但算术等价的函数域。
• 有限个Artin L函数足以区分任意两个非同构的全局函数域，从而为算术等价性提供了完整不变量。
• 构造满足 $\operatorname{Gal}(M/F) \simeq C_l^n \rtimes G$ 的伽罗瓦扩张 $M$，依赖于选择度数被 $l-1$ 整除的素点，并应用类域论以确保射影类群中存在 $l$-子群。
• 通过 $G$ 作用下不同分歧行为，证明了 $N$ 上的 $C_l$-扩张 $NL^{\sigma_i}/N$ 的线性不相交性，从而确保了半直积结构。