[论文解读] On Asymptotic Exponentiality of the Distribution of First Exit Times for a Class of Markov Processes

Moshe Pollak, Alexander G. Tartakovsky|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2006

Simulation Techniques and Applications被引用 1

一句话总结

该论文通过无需再生嵌入的矩生成函数收敛方法，建立了非负Harris遍历马尔可夫过程在A → ∞时从[0, A]首次 hitting 时间的渐近指数性。它将标准化常数与拟平稳分布联系起来，并将结果应用于变化点检测中的运行长度分布。

ABSTRACT

We consider the first exit time of a nonnegative Harris-recurrent Markov process from the interval $[0,A]$ as $A o\infty$. We provide an alternative method of proof of asymptotic exponentiality of the first exit time (suitably standardized) that does not rely on embedding in a regeneration process. We show that under certain conditions the moment generating function of a suitably standardized version of the first exit time converges to that of $\Exp(1)$, and we connect between the standardizing constant and the quasi-stationary distribution (assuming it exists). The results are applied to the evaluation of a distribution of run length to false alarm in change-point detection problems.

研究动机与目标

• 为非负Harris遍历马尔可夫过程在A → ∞时从[0, A]首次退出时间的渐近指数性提供证明。
• 提供一种独立于再生过程的证明方法，避免嵌入假设。
• 在拟平稳分布存在时，将退出时间分布的标准化常数与之关联。
• 将理论结果应用于变化点检测问题中虚假报警的运行长度分布。

提出的方法

• 利用适当标准化的首次退出时间的矩生成函数（mgf）收敛于Exp(1)分布的mgf。
• 在不依赖再生结构的条件下，分析退出时间mgf的收敛性以确保其收敛于指数分布的mgf。
• 依赖Harris遍历性及拟平稳分布的存在性来刻画标准化常数的性质。
• 通过分析Laplace变换和矩生成函数的行为，推导退出时间分布的渐近行为。
• 将理论框架应用于序列变化点检测中的运行长度分布，其中退出时间对应于虚假报警时间。
• 证明标准化常数与拟平稳分布的均值渐近相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非负Harris遍历马尔可夫过程从[0, A]的首次退出时间在适当标准化后，其分布收敛于指数分布？
• RQ2 是否可以在不将过程嵌入再生结构的前提下，建立退出时间的渐近指数性？
• RQ3 退出时间的标准化常数与过程的拟平稳分布有何关系？
• RQ4 标准化退出时间的矩生成函数与Exp(1)分布之间有何联系？
• RQ5 如何将退出时间的渐近分布应用于建模变化点检测中虚假报警的运行长度？

主要发现

• 在所述条件下，适当标准化的首次退出时间的矩生成函数收敛于Exp(1)分布的矩生成函数。
• 当拟平稳分布存在时，退出时间的标准化常数与该分布的均值渐近相关。
• 渐近指数性的证明无需将过程嵌入再生结构，提供了一种新的分析方法。
• 该结果为使用指数分布近似变化点检测中虚假报警的运行长度分布提供了理论基础。
• mgf的收敛性意味着分布收敛于Exp(1)，从而确立了退出时间的渐近指数性。
• 该框架适用于一大类马尔可夫过程，特别是那些具有明确定义的拟平稳分布的过程。