[论文解读] On asymptotic structure in compressed sensing

Bogdan Roman, Anders C. Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用 78

一句话总结

本文提出了一种基于渐近非相干性、渐近稀疏性和多级采样新压缩感知框架，表明最优采样策略在很大程度上取决于信号结构和分辨率。结果表明，即使在使用贝叶斯或近似消息传递等先进算法的情况下，结构化采样在磁共振成像（MRI）、荧光显微镜和压缩成像中仍优于经典随机采样。

ABSTRACT

This paper demonstrates how new principles of compressed sensing, namely asymptotic incoherence, asymptotic sparsity and multilevel sampling, can be utilised to better understand underlying phenomena in practical compressed sensing and improve results in real-world applications. The contribution of the paper is fourfold: First, it explains how the sampling strategy depends not only on the signal sparsity but also on its structure, and shows how to design effective sampling strategies utilising this. Second, it demonstrates that the optimal sampling strategy and the efficiency of compressed sensing also depends on the resolution of the problem, and shows how this phenomenon markedly affects compressed sensing results and how to exploit it. Third, as the new framework also fits analog (infinite dimensional) models that govern many inverse problems in practice, the paper describes how it can be used to yield substantial improvements. Fourth, by using multilevel sampling, which exploits the structure of the signal, the paper explains how one can outperform random Gaussian/Bernoulli sampling even when the classical $l^1$ recovery algorithm is replaced by modified algorithms which aim to exploit structure such as model based or Bayesian compressed sensing or approximate message passaging. This final observation raises the question whether universality is desirable even when such matrices are applicable. Examples of practical applications investigated in this paper include Magnetic Resonance Imaging (MRI), Electron Microscopy (EM), Compressive Imaging (CI) and Fluorescence Microscopy (FM). For the latter, a new compressed sensing approach is also presented.

研究动机与目标

• 解决传统压缩感知理论与实际应用之间的差距，即在信号并非稀疏而是结构化框架中渐近稀疏的情况下。
• 证明最优采样策略不仅依赖于稀疏性，还取决于信号结构和问题分辨率。
• 将压缩感知理论扩展至MRI和电子显微镜等实际反问题中常见的无穷维模型。
• 表明即使在使用如基于模型或贝叶斯压缩感知等先进恢复算法时，多级采样仍可优于经典的高斯或伯努利随机采样。
• 通过展示结构化采样性能更优，挑战随机采样矩阵具有普适性的假设。

提出的方法

• 提出三项新原理：渐近非相干性、渐近稀疏性和多级采样，以替代经典压缩感知的支柱。
• 以与小波或*-let框架中信号结构相匹配的结构化多级采样模式，取代均匀随机子采样。
• 采用广义采样框架对无穷维信号建模，使其可应用于MRI和EM等模拟系统。
• 使用相干性度量 µ(U) = max_{i,j} |u_{ij}|^2 来量化非相干性，最优恢复要求 µ(U) ≲ 1/N。
• 推导出测量复杂度边界：m ≳ µ(U) · N · s · (1 + log(1/ϵ)) · log(N)，表明其对相干性和稀疏性的依赖。
• 采用 l1-最小化恢复方案：min_z ||z||_1 subject to ||y - P_Ω U z|| ≤ η，其中 η 根据噪声水平设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅考虑稀疏性之外，信号结构在压缩感知中如何影响最优采样策略？
• RQ2 问题分辨率在多大程度上影响压缩感知的效率和性能？
• RQ3 即使在使用如贝叶斯或近似消息传递等先进恢复算法时，多级采样是否仍可优于经典随机采样？
• RQ4 压缩感知理论如何扩展至MRI和电子显微镜等实际成像应用中出现的无穷维模型？
• RQ5 当已知信号结构时，随机采样矩阵的普适性是否理想，还是存在更优选择？

主要发现

• 基于信号结构的多级采样在MRI、荧光显微镜和压缩成像中始终优于均匀随机子采样，即使在使用先进恢复算法时亦然。
• 稳定恢复所需的测量数符合边界 m ≳ µ(U) · N · s · (1 + log(1/ϵ)) · log(N)，表明其依赖于相干性 µ(U)、稀疏性 s 和问题维数 N。
• 在小波或*-let等框架中的渐近稀疏性，相比经典稀疏性假设，能实现更优的恢复效果，尤其在高分辨率或无穷维设置下。
• 新框架成功对模拟系统（如MRI和电子显微镜）进行建模，并提升性能，而传统压缩感知因非相干性和无穷维性而失效。
• 即使在基于模型或贝叶斯压缩感知下，通过多级设计实现的结构化采样仍优于随机采样，提供更优的重建质量。
• 本文表明，随机采样矩阵的普适性并非总是最优——当已知信号结构时，结构化采样可带来显著性能提升。