[论文解读] On asymptotically exact probability of $k$-connectivity in random key graphs intersecting Erdős-Rényi graphs.

Jun Zhao, Osman Yağan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Security in Wireless Sensor Networks被引用 4

一句话总结

本文推导了在具有不可靠边的随机密钥图中 $k$-连通性、$k$-边连通性以及最小顶点度 $\geq k$ 的渐近精确概率，该模型将随机密钥图 $\mathbb{G}(n;K,P)$ 与 Erdős-Rényi 图 $\mathbb{H}(n;p)$ 取交集。关键贡献在于在 $n \to \infty$ 时，针对缩放参数 $K_n, P_n, p_n$，建立了这些连通性性质的精确阈值条件。

ABSTRACT

Random key graphs have been used in secure wireless sensor networks (WSNs) and various other applications. Random key graphs, denoted $\mathbb{G}(n;K,P)$, form a class of random intersection graphs and can be described as follows: With $\mathcal{V}_n=\{v_1, \ldots, v_n\}$ denoting the set of vertices, each vertex $v_i$ is assigned a set $S_i$ of $K$ distinct keys that are selected uniformly at random from a key pool of size $P$. An undirected edge is then drawn between any pair of distinct vertices $v_i$ and $v_j$ if $S_i \cap S_j eq \emptyset$. In this paper, we consider random key graphs with unreliable (i.e., randomly deleted) edges. Namely, let $\mathbb{H}(n;p)$ denote an Erdős-Renyi (ER) graph on vertices $\mathcal{V}_n$, where an edge exists between any distinct pair with probability $p$, independently from all other edges. The intersection of a random key graph and an ER graph, denoted $\mathbb{G}_{on} (n;K,P,p) = \mathbb{G}(n;K,P) \cap \mathbb{H}(n;p)$, corresponds to a random key graph with unreliable (Bernoulli) links, and can be a useful model in various real-world applications; e.g., with secure WSN application in mind, link unreliability can be attributed to harsh environmental conditions severely impairing transmissions. With parameters $K,P$, and $p$ scaled with $n$, we derive asymptotically exact probabilities for three related graph properties in $\mathbb{G}_{on} (n;K_n,P_n,p_n)$: i) $k$-vertex-connectivity, ii) $k$-edge-connectivity, and iii) the minimum vertex degree being at least $k$. A graph is $k$-vertex-connected (resp. $k$-edge-connected) if it remains connected despite the deletion of any $(k-1)$ vertices (resp. edges). Our results on the asymptotically exact probabilities of being vertex-connected and edge-connected in $\mathbb{G}_{on} (n;K_n,P_n,p_n)$ are also novel in the literature.

研究动机与目标

• 使用随机密钥图与 Erdős-Rényi 图的交集来建模具有不可靠通信链路的安全无线传感器网络（WSNs）。
• 分析此类混合随机图中 $k$-顶点连通性、$k$-边连通性以及最小顶点度 $\geq k$ 的渐近行为。
• 推导当网络规模 $n$ 增大时，在 $K_n$、$P_n$ 和 $p_n$ 缩放下的这些连通性性质的精确阈值条件。
• 在具有伯努利链路失效的随机密钥图背景下，提供 $k$-连通性和 $k$-边连通性的新颖渐近精确概率表达式。
• 通过引入边不可靠性，扩展了随机交集图领域的现有结果，更真实地反映了 WSN 中的实际传输损伤。

提出的方法

• 将网络建模为 $\mathbb{G}_{on}(n;K_n,P_n,p_n) = \mathbb{G}(n;K_n,P_n) \cap \mathbb{H}(n;p_n)$，其中仅当同时满足密钥共享和 ER 边条件时边才存在。
• 在 $K_n$、$P_n$ 和 $p_n$ 为 $n$ 的函数的渐近尺度下进行分析，其中 $K_n \to \infty$，$P_n \to \infty$，且 $p_n \to 0$ 的方式适当。
• 应用概率方法和矩收敛技术，推导 $k$-连通性和 $k$-边连通性的精确渐近概率。
• 表征密钥分配与边删除过程的联合行为，以分析顶点连通性和边连通性的阈值。
• 利用随机交集图和随机图论的结果，推导出图以高概率保持 $k$-连通的精确条件。
• 证明 $k$-连通性的渐近概率收敛于 1 或 0，具体取决于 $K_n$、$P_n$ 和 $p_n$ 的缩放方式，并推导出精确阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，$\mathbb{G}_{on}(n;K_n,P_n,p_n)$ 是 $k$-顶点连通图的渐近精确概率是多少？
• RQ2 在混合图模型中，$K_n$、$P_n$ 和 $p_n$ 的精确缩放条件是什么，以确保以高概率实现 $k$-边连通性？
• RQ3 在 $\mathbb{G}_{on}(n;K_n,P_n,p_n)$ 中，最小顶点度的渐近行为如何？在何种条件下其值至少为 $k$？
• RQ4 在混合模型中，$k$-连通性和 $k$-边连通性的渐近概率与标准随机密钥图或 Erdős-Rényi 图中的结果相比有何异同？
• RQ5 当在随机密钥图中以概率 $1-p_n$ 独立删除边时，$k$-连通性的精确阈值行为是什么？

主要发现

• 当 $K_n \log P_n \to \infty$ 且 $p_n$ 以适当方式随 $n$ 缩放时，$\mathbb{G}_{on}(n;K_n,P_n,p_n)$ 是 $k$-顶点连通图的渐近概率收敛于 1，前提是满足特定条件。
• 当 $K_n \to \infty$，$P_n \to \infty$，且 $p_n$ 满足由密钥重叠与边删除相互作用导出的精确阈值条件时，$k$-边连通性的渐近概率收敛于 1。
• 当 $K_n \log P_n \to \infty$ 且 $p_n$ 相对于 $n$ 足够大时，$\mathbb{G}_{on}(n;K_n,P_n,p_n)$ 中的最小顶点度以高概率渐近至少为 $k$。
• 推导出的 $k$-连通性和 $k$-边连通性的阈值是渐近精确的，即概率根据参数缩放方式精确收敛于 1 或 0。
• 本研究通过引入边不可靠性，推广了先前关于随机密钥图和 Erdős-Rényi 图的工作，为在环境干扰下运行的安全 WSN 提供了更真实的模型。
• 本文建立了混合模型中 $k$-连通性和 $k$-边连通性概率的全新渐近表达式，且在 $n \to \infty$ 时为精确极限形式。