[论文解读] On Asymptotically Tight Tail Bounds for Sums of Geometric and Exponential Random Variables

Yaonan Jin, Yingkai Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Probability and Risk Models参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过切尔诺夫界和斯特林公式，为独立几何分布和指数分布随机变量之和建立了渐近紧致的指数尾部概率界。证明了在n趋于无穷大时，所推导的界是渐近最优的，其指数项与精确对数尾部概率的差值仅为o(n)阶项。

ABSTRACT

In this note we prove bounds on the upper and lower probability tails of sums of independent geometric or exponentially distributed random variables. We also prove negative results showing that our established tail bounds are asymptotically tight.

研究动机与目标

• 推导独立同分布几何分布和指数分布随机变量归一化和的尖锐上尾和下尾界。
• 在变量个数n趋于无穷大时，建立这些界渐近紧致性的证明。
• 为实际应用提供速率函数H(λ,μ)的简化近似形式，并与先前工作进行比较。
• 证明尾部界中主导阶指数无法进一步改进，从而确认其最优性。

提出的方法

• 应用切尔诺夫界技术于独立同分布的几何分布和指数分布随机变量之和，推导尾部界。
• 引入几何分布和的速率函数H(λ,μ) = μλlnλ − (1+μλ)ln((1+μλ)/(1+μ))，以及指数分布和的速率函数G(λ) = λ−1−lnλ。
• 利用斯特林公式对精确的二项分布和泊松尾部概率进行渐近展开，推导渐近表达式。
• 通过泊松和二项计数过程的表征方式，精确表达尾部概率，再进行渐近分析。
• 将推导出的界与[Jan18]和[AAGZ17a]中的现有结果进行比较，表明其更紧致或更具实用性。
• 通过证明当n→∞时，−lnPr / (n×rate)的极限趋于1，从而证明边界的紧致性，确认指数项的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所推导的几何分布和指数分布随机变量之和的尾部界是否渐近紧致？
• RQ2 速率函数H(λ,μ)和G(λ)与现有界相比，在紧致性和实用性方面如何？
• RQ3 对于大n，尾部界中的指数项能否优于所推导的H(λ,μ)或G(λ)？
• RQ4 这些和的尾部概率的主导阶渐近行为是什么？
• RQ5 H(λ,μ)的近似形式如何简化这些界在实际应用中的使用？

主要发现

• 几何分布和的上尾和下尾概率以exp{−n·H(λ,μ)}的速率衰减，其中H(λ,μ)定义为μλlnλ − (1+μλ)ln((1+μλ)/(1+μ))。
• 对于指数分布和，尾部概率以exp{−n·G(λ)}的速率衰减，其中G(λ) = λ−1−lnλ。
• 对于几何分布和的上尾和下尾，极限limₙ→∞ [−lnPr / (n·H(λ,μ))] = 1，证明了其渐近紧致性。
• 类似地，对于指数分布和，limₙ→∞ [−lnPr / (n·G(λ))] = 1，确认了指数项的最优性。
• 尾部概率渐近展开中的余项为O(log n)，与主导项O(n)相比可忽略不计。
• 提供了H(λ,μ)的若干简化近似形式，例如当λ∈(0,1]时，H(λ,μ) ≥ (μ/2(1+μ))(λ−1)²，显示出实际应用中的便利性。