[论文解读] On asymptotics of two non-uniform recursive tree models

Ella Hiesmayr|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 3

一句话总结

本论文分析了两种非均匀递归树模型：加权递归树（WRT），其中节点连接概率依赖于节点特定的权重；以及偏倚递归树（BRT），其构建使用洗牌排列而非均匀随机排列。研究表明，在广泛条件下，WRT 渐近地类似于均匀递归树（URT）；而 BRT 展现出不同的行为，其收敛性取决于洗牌参数，并通过耦合与鞅方法建立了关于深度、叶节点数量和分支数的关键结果。

ABSTRACT

In this thesis the properties of two kinds of non-uniform random recursive trees are studied. In the first model weights are assigned to each node, thus altering the attachment probabilities. We will call these trees weighted recursive trees. In the second model a different distribution rather than the uniform one is chosen on the symmetric group, namely a riffle shuffle distribution. These trees will be called biased recursive trees. For both of these models the number of branches, the number of leaves, the depth of nodes and some other properties are studied. The focus is on asymptotic results and the comparison with uniform random recursive trees. It will be shown that the studied properties of weighted recursive trees are close to uniform recursive trees in many cases when the number of nodes increases. In contrast biased recursive trees show a different behaviour but approach uniform recursive trees depending on the parameters of the riffle shuffle distribution.

研究动机与目标

• 理解非均匀递归树模型的渐近行为，特别是与均匀递归树（URT）的比较。
• 研究节点权重和非均匀连接机制（特别是洗牌分布）如何影响结构属性，如深度、叶节点数和分支数。
• 建立加权递归树（WRT）渐近趋近于 URT 的条件，并分析在不同洗牌参数下偏倚递归树（BRT）向 URT 的收敛性。
• 发展耦合与鞅技术，将 URT 中已知结果推广至 WRT 和 BRT，实现渐近与集中性分析。

提出的方法

• 通过 WRT 与 URT 之间的耦合构造，比较结构统计量（如深度与叶节点数）的渐近分布。
• 应用鞅差序列与 Azéma-Yor 嵌入方法，分析 WRT 中节点深度，尤其在非均匀权重序列下的行为。
• 利用洗牌理论与反记录（anti-records）建模偏倚递归树（BRT）中的连接机制，利用排列统计量中的独立性结构。
• 应用多变量正态近似与依赖随机变量和的中心极限定理，尤其在权重固定或遵循特定序列时。
• 应用 Wasserstein 与 Kolmogorov 距离量化 WRT 与 URT 之间，以及在参数变化下 BRT 与 URT 之间的分布收敛性。
• 通过洗牌排列的循环结构分析 BRT 中的分支数，尽管其完整的渐近分布仍为开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，加权递归树（WRT）会渐近趋近于均匀递归树（URT）的统计行为？
• RQ2 随着节点数增加，WRT 中节点深度的分布如何变化，特别是在权重偏离均匀性时？
• RQ3 通过洗牌排列构建的偏倚递归树（BRT）的分支数的渐近分布是什么？
• RQ4 洗牌分布的参数如何影响 BRT 在深度与叶节点数方面向 URT 的收敛性？
• RQ5 能否利用耦合技术，基于 URT 中已知结果，推导出 WRT 与 BRT 中结构统计量的集中不等式？

主要发现

• 具有有限个非单位权重的加权递归树（WRT）在渐近行为上接近均匀递归树（URT），尤其在节点深度与叶节点数的分布方面。
• 对于 WRT，节点的期望深度收敛于依赖于权重序列的值，且在某些条件下，深度分布满足中心极限定理。
• 由具有 $a$ 个堆的洗牌构建的偏倚递归树（BRT）中，最大度数恰好为 $a$，表明其结构与 $a$-叉树相似。
• BRT 中节点深度的期望值渐近仅依赖于洗牌的首个参数 $p_1$，表明初始分布具有强烈影响。
• BRT 中的分支数仍为开放问题，因反记录存在全局依赖性，尽管洗牌排列的循环结构提供了潜在解决路径。
• WRT 与 URT 之间的耦合构造可实现渐近与集中性结果的转移，提示该方法在其他树统计量中具有更广泛应用前景。