[论文解读] On Automatic Continuity of 3-Homomorphisms on Banach Algebras

Janko Bračič, Mohammad Sal Moslehian|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2006

Functional Equations Stability Results参考文献 3被引用 19

一句话总结

本文证明了任意在单位C*-代数之间保持对合的3-同态均为算子范数至多为1的范数递减映射。通过两种不同方法——C*-代数中的谱分析，以及带有Arens乘积的第二对偶扩张——本文在具有有界近似单位元的巴拿赫代数上证明了此类3-同态的自动连续性，从而解决了在C*-代数设定下这类映射连续性问题的开放疑问。

ABSTRACT

A linear map $ϕ:{\mathcal A} o {\mathcal B} $ between (Banach) algebras is called 3-homomorphism if $ϕ(abc)=ϕ(a)ϕ(b)ϕ(c)$ for each $a, b, c \in {\mathcal A}$. We investigate 3-homomorphisms on Banach algebras with bounded approximate identities and establish in two ways that every involution preserving homomorphism between $C^*$-algebras is norm decreasing.

研究动机与目标

• 研究具有有界近似单位元的巴拿赫代数上3-同态的自动连续性。
• 解决关于任意保持对合的3-同态在C*-代数之间是否自动连续的开放问题。
• 证明此类3-同态为范数递减映射，且算子范数 ≤ 1。
• 证明3-同态的第二对偶扩张在Arens乘积结构下仍保持3-同态性质。

提出的方法

• 利用C*-代数中的谱理论，证明φ(a)#φ(a)的谱包含于a#a的谱并集{0}，从而实现范数控制。
• 应用L. Harris关于J*-同态的策略，通过分析λ1 - φ(a)#φ(a)的可逆性，证明φ是范数递减的。
• 在第二对偶代数A**上构造一个同态ψ，利用(L, ▹)中的左单位L，使得φ(a) = φ**(L) ▹ ψ(a)。
• 利用A**和B**上的Arens乘积结构，将3-同态φ提升至第二对偶上的φ**，并保持3-同态性质。
• 证明φ**是A**上的保持对合的3-同态，并利用A**是冯诺依曼代数的事实，应用已知的范数递减同态结果。
• 证明φ**(E)的范数 ≤ 1，其中E是A**的单位元，从而通过φ**上的范数不等式得出‖φ‖ ≤ 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个保持对合的3-同态在C*-代数之间是否自动连续？
• RQ2 能否在不预先假设连续性的前提下，建立此类3-同态的范数递减性质？
• RQ3 具有有界近似单位元的巴拿赫代数的第二对偶结构如何影响3-同态的连续性？
• RQ4 Arens乘积和有界近似单位元在将3-同态提升至第二对偶中起什么作用？
• RQ5 3-同态的保持对合性质是否保证其第二对偶也保持对合？

主要发现

• 每个保持对合的3-同态φ在单位C*-代数之间满足‖φ‖ ≤ 1，证明其为范数递减映射。
• 3-同态φ的第二对偶扩张φ**在A**上的Arens乘积下仍为3-同态。
• 对于具有有界近似单位元的巴拿赫代数A，映射ψ(F) = φ**(L) ▹ φ**(F)在(A**, ▹)上定义了一个同态，其中L为左单位元。
• 第二对偶扩张φ**的范数受φ**(E)的范数控制，其中E为A**的单位元，且该范数 ≤ 1。
• φ的保持对合性质意味着φ**在A**上也保持对合，从而可应用已知的范数递减同态结果。
• 通过第二对偶方法的证明确认了φ是连续的，且‖φ‖ ≤ 1，从而解决了此类映射自动连续性的疑问。