[论文解读] On automorphism groups of low complexity subshifts

Sebastián Donoso, Fabien Durand+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文研究低复杂度子移位的自同构群，证明对于非周期极小子移位及某些具有非超线性复杂度的遍历子移位，其自同构群为几乎 ℤ 群——即其模平移群的商群为有限群。关键技术在于分析渐近对并利用词复杂度，将结果推广至具有混合非超线性和超多项式复杂度的子移位，并表明任意有限群均可作为该商群实现。

ABSTRACT

In this article we study the automorphism group ${\ m Aut}(X,\\sigma)$ of subshifts $(X,\\sigma)$ of low word complexity. In particular, we prove that Aut$(X,\\sigma)$ is virtually $\\mathbb{Z}$ for aperiodic minimal subshifts and certain transitive subshifts with non-superlinear complexity. More precisely, the quotient of this group relative to the one generated by the shift map is a finite group. In addition, we show that any finite group can be obtained in this way. The class considered includes minimal subshifts induced by substitutions, linearly recurrent subshifts and even some subshifts which simultaneously exhibit non-superlinear and superpolynomial complexity along different subsequences. The main technique in this article relies on the study of classical relations among points used in topological dynamics, in particular, asymptotic pairs. Various examples that illustrate the technique developed in this article are provided. In particular, we prove that the group of automorphisms of a $d$-step nilsystem is nilpotent of order $d$ and from there we produce minimal subshifts of arbitrarily large polynomial complexity whose automorphism groups are also virtually $\\mathbb{Z}$.

研究动机与目标

• 理解低复杂度子移位中自同构群的结构，特别是当词复杂度增长缓慢时。
• 将关于代换子移位与线性重复系统的自同构群已知结果推广至更广泛的遍历与极小子移位类。
• 确定当复杂度表现出混合增长（沿不同子序列为非超线性和超多项式）时，自同构群是否仍为几乎 ℤ 群。
• 证明任意有限群均可作为此类系统中自同构群模平移群的商群实现。
• 探索访问时间函数与自同构群增长速率之间的联系，将 Gromov 型结果推广至拓扑动力系统。

提出的方法

• 通过分析子移位中的渐近对来约束自同构的结构。
• 利用词复杂度函数 $ p_X(n) $，特别是条件 $ \liminf_{n\to\infty} \frac{p_X(n)}{n} < \infty $，以限制自同构群的大小。
• 引入访问时间映射 $ R_X''(n) $，定义为包含语言中所有 $ n $-长词的最短词的长度，以控制自同构群的增长。
• 应用 Shalom 与 Tao 的定量群增长结果，证明当 $ R_X''(n) = O(n^d) $ 时，$ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ 的任意有限生成子群均为阶数有界的拟幂零群。
• 从 $ d $-步幂零系统构造例子，生成具有任意大多项式复杂度但自同构群仍为几乎 ℤ 的极小子移位。
• 利用拓扑动力系统理论及点之间的关系，控制自同构在子移位上的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种词复杂度条件下，遍历或极小子移位的自同构群为几乎 ℤ 群？
• RQ2 对于复杂度呈现混合增长（沿不同子序列分别为非超线性和超多项式）的子移位，其自同构群是否仍为几乎 ℤ 群？
• RQ3 是否可对某个低复杂度子移位实现任意有限群作为 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma \rangle $ 的商群？
• RQ4 访问时间函数 $ R_X''(n) $ 与子移位中自同构群的增长速率有何关系？
• RQ5 能否通过非膨胀方向或渐近分量，将 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ 为几乎 ℤ 群的结果推广至高维子移位？

主要发现

• 对于非周期极小子移位及满足 $ \liminf_{n\to\infty} \frac{p_X(n)}{n} < \infty $ 的某些遍历子移位，自同构群 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ 为几乎 ℤ 群。
• 任意有限群均可作为某个具有非超线性复杂度的极小子移位的商群 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma \rangle $ 实现。
• 满足主定理的子移位类包括本原代换系统、线性重复子移位，以及沿不同子序列呈现混合复杂度增长的系统。
• 对于满足 $ R_X''(n) = O(n^d) $ 的子移位，其 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ 的任意有限生成子群均为阶数有界的拟幂零群。
• 一个 $ d $-步幂零系统的自同构群为类 $ d $ 的幂零群，且可从这类系统构造出具有任意大多项式复杂度的极小子移位，其自同构群仍为几乎 ℤ 群。
• 访问时间函数 $ R_X''(n) $ 满足 $ R_X''(n) \geq p_X(n) + n - 1 $，对 Sturmian 子移位有 $ R_X''(n) \leq 2n $，而对线性重复子移位有 $ R_X''(n) = O(n) $。