[论文解读] On average sizes of Selmer groups and ranks in families of elliptic curves having marked points

Manjul Bhargava, Wei Ho|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2022

Analytic Number Theory Research被引用 4

一句话总结

本文建立了带有标记有理点的椭圆曲线族中2-和3- Selmer群平均大小的统一上界，包括具有2阶或3阶标记点的曲线，并证明即使在限制到最小曲线或由同余条件定义的大子族时，这些上界依然成立。关键结果确认了此类曲线的平均秩有界，支持了Poonen–Rains的随机性猜想，并扩展了关于椭圆曲线平均秩的早期工作。

ABSTRACT

We determine average sizes/bounds for the $2$- and $3$-Selmer groups in various families of elliptic curves with marked points, thus confirming several cases of the Poonen--Rains heuristics. As a consequence, we deduce that the average ranks of the elliptic curves in all of these families are bounded. Our proofs are uniform and make use of parametrizations involving various forms of $2 imes 2 imes 2 imes 2$ and $3 imes 3 imes 3$ matrices that we studied in a previous paper. We also deduce that $100\%$ of genus one curves of the form $y^2 = Ax^4 + Bx^2 z^2 + Cz^4$ with $A, B, C \in \mathbb{Z}$, when ordered by $\max\{|B|^2,|AC|\}$, fail the Hasse principle. Other forthcoming applications include proofs that a positive proportion of integers are (respectively, are not) the sum of two rational cubes, and a positive proportion of genus one curves in $\mathbb{P}^1 imes \mathbb{P}^1$ over $\mathbb{Q}$ fail the Hasse principle.

研究动机与目标

• 确定按高度排序的带有标记有理点（包括2阶或3阶点）的椭圆曲线族中Selmer群的平均大小。
• 建立当限制到最小曲线或由同余条件定义的大子族时，这些平均大小依然有界的结论。
• 确认此类曲线的平均秩有界，支持带有标记结构的族的Poonen–Rains随机性猜想。
• 将对平均秩与Selmer群大小的理解，从完整的椭圆曲线族扩展至具有有理扭点或标记点的结构化子族。

提出的方法

• 作者为每个椭圆曲线族（包括 $F_0$、$F_1$、$F_1(2)$、$F_1(3)$ 和 $F_2$）定义高度函数，以按大小对曲线进行排序。
• 他们通过在 $\mathbb{R}^{n_j}$ 的有界区域内计数格点，来估计每个族中高度有界的曲线数量。
• 他们将‘大’子族定义为那些对除有限多个素数 $p$ 外的所有 $p$ 满足 $p^2 \nmid \Delta_{\text{red}}(E)$ 的族，以保证密度保持不变。
• 他们应用Weil估计与模约化技术，估算在 $F_2$ 中标记点模 $p$ 线性相关的密度，以证明独立性是普遍现象。
• 他们利用 $p$-Selmer群的 $p$-秩对代数秩的上界估计，推导出平均秩的上界。
• 他们应用中国剩余定理，将大量素数上的局部密度组合起来，以证明标记点的依赖性在渐近意义上极为罕见。

实验结果

研究问题

• RQ1 在按高度排序的 $\mathbb{Q}$ 上所有椭圆曲线族 $F_0$ 中，2-Selmer群的平均大小是多少？
• RQ2 在带有标记有理点的族中，如 $F_1$、$F_1(2)$、$F_1(3)$ 和 $F_2$，2-和3-Selmer群的平均大小如何变化？
• RQ3 当限制到最小曲线或由同余条件定义的大子族时，平均Selmer群大小是否保持不变？
• RQ4 这些族中平均秩的上极限是多少？是否为有界值？
• RQ5 在 $F_2$ 中，有多少比例的曲线其两个标记点在Mordell-Weil群中线性无关？

主要发现

• 在 $F_0$ 中，2-Selmer群的平均大小恰好为3，3-Selmer群的平均大小恰好为4。
• 在 $F_1$ 中，2-Selmer群的平均大小至多为6，3-Selmer群的平均大小恰好为12。
• 在 $F_1(2)$ 中，3-Selmer群的平均大小恰好为4；在 $F_1(3)$ 中，2-Selmer群的平均大小至多为3。
• 在 $F_2$ 中，2-Selmer群的平均大小至多为12，确认该族中平均秩有界。
• 在 $F_0$、$F_1$、$F_1(2)$、$F_1(3)$ 和 $F_2$ 中，平均秩的上极限分别至多为 $7/6$、$13/6$、$7/6$、$3/2$ 和 $7/2$。
• 在每个族中，渐近意义上100%的曲线具有平凡的有理扭点，且 $F_1$ 和 $F_2$ 中的标记点线性无关的概率为1。