[论文解读] On axiomatic aspects of N=2 vertex superalgebras with odd formal variables, and deformations of N=1 vertex superalgebras

Katrina Barron|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文提出了一套严谨的公理化框架，用于以两个奇性形式变量表示的 $N=2$ 顶点超代数，通过将 $N=2$ 超共形代数嵌入修正的雅可比恒等式中。该研究建立了带有一个或两个奇性形式变量的 $N=2$ 顶点超代数类别与不带奇性形式变量的类之间的同构关系，通过 $N=1$ 顶点超代数的连续形变，证明了 $N=2$ 超共形几何与 $N=1$ 超解析几何之间的等价性。

ABSTRACT

The notion of "N = 2 vertex superalgebra with two odd formal variables" is presented, the main axiom being a Jacobi identity with odd formal variables in which an N=2 superconformal shift is incorporated into the usual Jacobi identity for a vertex superalgebra. It is shown that as a consequence of these axioms, the N=2 vertex superalgebra is naturally a representation of the Lie algebra isomorphic to the three-dimensional algebra of superderivations with basis consisting of the usual conformal operator and the two N=2 superconformal operators. The notion of N=2 Neveu-Schwarz vertex operator superalgebra with two odd formal variables is introduced, and consequences of this notion are derived. Various other formulations of the notion of N=2 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra appearing in the mathematics and physics literature are discussed, and several mistakes in the literature are noted and corrected. The notion of ``N=2 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra with one odd formal variable" is formulated. It is shown that this formulation naturally arises from alternate notions of N=1 superconformality and the continuous deformation of an N=1 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra with one odd formal variable. This notion is formulated to reflect the underlying N=1 superanalytic geometry, and it is shown that the equivalence of the notions of N=2 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra with one and with two odd formal variables reflects the equivalence of N=2 superconformal and N=1 superanalytic geometry. In particular we prove that the group of formal N=2 superconformal functions vanishing at zero and invertible in a neighborhood of zero is isomorphic to a certain subgroup of N=1 superanalytic functions vanishing at zero and invertible in a neighborhood of zero.

研究动机与目标

• 通过使用两个奇性形式变量的超共形移位雅可比恒等式，形式化带有两个奇性形式变量的 $N=2$ 顶点超代数。
• 纠正文献中先前对 $N=2$ 顶点超代数数学表述中存在的不一致性和拼写错误。
• 通过连续形变，在带有一个奇性形式变量的 $N=2$ 顶点超代数与 $N=1$ 超解析几何之间建立自然对应关系。
• 证明带有一个奇性形式变量的 $N=2$ 内维-施瓦茨顶点算子超代数的范畴与不带奇性形式变量的范畴同构。
• 通过展示不同几何与代数设定下各种 $N=2$ 顶点超代数表述之间的等价性，统一其不同形式。

提出的方法

• 引入一种修正的雅可比恒等式，通过两个奇性形式变量 $\varphi^{(1)}, \varphi^{(2)}$ 引入 $N=2$ 超共形移位。
• 定义带有两个奇性形式变量的 $N=2$ 内维-施瓦茨顶点算子超代数，确保其与超共形对称性和超交换性一致。
• 利用奇变量的形式微积分与超狄拉克函数，推导顶点算子的分量公式。
• 构建不同形式变量结构下 $N=2$ 顶点超代数范畴之间的函子，特别是 $F_{\varphi=0}$ 与 $F_{\varphi^{(2)}=0}$，以建立同构关系。
• 通过证明 $N=1$ 顶点超代数的连续形变可产生 $N=2$ 代数，将 $N=2$ 结构与 $N=1$ 超共形几何联系起来。
• 证明在零点处为零且在零点附近可逆的正式 $N=2$ 超共形函数群，同构于具有相同性质的 $N=1$ 超解析函数的一个子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过奇性形式变量，将 $N=2$ 超共形代数自然地纳入顶点超代数的公理结构中？
• RQ2 带有一个与两个奇性形式变量的 $N=2$ 顶点超代数之间的确切关系是什么？这种关系如何反映几何等价性？
• RQ3 对 $N=1$ 顶点超代数的连续形变如何产生带有一个奇性形式变量的 $N=2$ 顶点超代数？
• RQ4 超共形移位在雅可比恒等式中的作用是什么？它如何决定顶点算子分量的结构？
• RQ5 文献中各种 $N=2$（内维-施瓦茨）顶点超代数的表述在数学上是否一致？若不一致，需要哪些修正？

主要发现

• 带有两个奇性形式变量的 $N=2$ 顶点超代数自然地是生成于共形算子与两个 $N=2$ 超共形算子的李超代数的表示。
• 雅可比恒等式中的超共形移位完全决定了顶点算子的奇性形式变量分量。
• 带有一个奇性形式变量的 $N=2$ 顶点超代数的范畴通过函子 $F_{\varphi=0}$ 与不带奇性形式变量的范畴同构。
• 带有一个奇性形式变量的 $N=2$ 内维-施瓦茨顶点算子超代数的范畴与带有两个奇性形式变量的范畴同构，且两者均同构于标准的 $N=2$ 表述。
• 在零点处为零且在零点附近可逆的正式 $N=2$ 超共形函数群，同构于具有相同性质的 $N=1$ 超解析函数的一个子群。
• 带有一个奇性形式变量的表述自然地作为 $N=1$ 顶点超代数的连续形变出现，从而证实了 $N=2$ 超共形几何与 $N=1$ 超解析几何之间的等价性。