[论文解读] On axiomatic formulation of gravity and matter field theories with MDRs and Finsler-Lagrange-Hamilton geometry on (co)tangent Lorentz bundles

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Advanced Differential Geometry Research被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于Finsler-拉格朗日-哈密顿几何的修正引力与物质场理论的公理化几何框架，该框架建立在（共）切洛伦兹丛上，通过引入修正的色散关系（MDRs）来描述洛伦兹协变性破缺与局域各向异性。该研究构建了包含非零引力子质量、双度规结构及短程引力的广义爱因斯坦方程的自洽形式，利用典范几乎辛形式与适配联络实现统一，将多种量子与经典引力模型整合于相对论性相空间几何之中。

ABSTRACT

We develop an axiomatic geometric approach and provide an unconventional review of modified gravity theories, MGTs, with modified dispersion relations, MDRs, encoding Lorentz invariance violations, LIVs, classical and quantum random effects, anisotropies etc. There are studied Lorentz-Finsler like theories elaborated as extensions of general relativity, GR, and quantum gravity, QG, models and constructed on (co) tangent Lorentz bundles, i.e. (curved) phase spaces or locally anisotropic spacetimes. An indicator of MDRs is considered as a functional on various type functions depending on phase space coordinates and physical constants. It determines respective generating functions and fundamental physical objects (generalized metrics, connections and nonholonomic frame structures) for relativistic models of Finsler, Lagrange and/or Hamilton spaces. We show that there are canonical almost symplectic differential forms and adapted (non) linear connections which allow us to formulate equivalent almost K\\"{a}hler-Lagrange / - Hamilton geometries. This way, it is possible to unify geometrically various classes of (non) commutative MGTs with locally anisotropic gravitational, scalar, non-Abelian gauge field, and Higgs interactions. We elaborate on theories with Lagrangian densities containing massive graviton terms and bi-connection and bi-metric modifications which can be modelled as Finsler-Lagrange-Hamilton geometries. An appendix contains historical remarks on elaborating Finsler MGTs and a summary of author's results in twenty directions of research on (non) commutative/ supersymmetric Finsler geometry and gravity; nonholonomic geometric flows, locally anisotropic superstrings and cosmology, etc.

研究动机与目标

• 开发一种几何统一且公理化的修正引力与物质场理论形式，整合修正色散关系（MDRs）
• 将广义相对论与量子引力模型扩展至（共）切洛伦兹丛上的Finsler型空间，以描述局域各向异性、洛伦兹协变性破缺（LIV）及随机效应
• 利用适配（非）线性联络、d-度规与几乎凯勒结构，构建广义爱因斯坦-Finsler、-拉格朗日与-哈密顿引力理论
• 在单一几何形式下统一非交换、超对称与局域各向异性引力模型，并保持场方程的一致性
• 为包含引力子质量、双度规结构与短程引力的MGTs提供因果且自洽的框架，支持现象学与实验检验

提出的方法

• 将MDRs表述为相空间坐标上的泛函，生成Finsler型基本对象，如度规、联络与非线性结构
• 在（共）切丛上引入典范几乎辛形式与适配（非）线性联络，以定义几乎凯勒-拉格朗日/哈密顿几何
• 通过N-适配畸变与非完整（共）切丛上的广义爱因斯坦张量形式，推导d-联络、曲率与里奇张量
• 应用广义等效原理与马赫原理，结合广义协变性，将广义相对论扩展至含MDRs的Finsler-拉格朗日-哈密顿引力
• 利用d-度规与d-联络结构，在相空间上构造爱因斯坦-杨-米尔斯-希格斯系统、引力子质量项与双度规模型的拉格朗日密度
• 通过（共）切丛上的变分原理推导修正场方程，包含非完整守恒律与有效源项

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将修正色散关系（MDRs）纳入引力与物质场在相空间上的几何框架？
• RQ2 Finsler-拉格朗日-哈密顿几何在统一局域各向异性、非交换与引力子质量模型中起何种作用？
• RQ3 能否利用（共）切洛伦兹丛上的适配联络与几乎凯勒结构，实现修正引力理论的自洽公理化形式？
• RQ4 MDRs与非线性联络如何影响局域各向异性时空中爱因斯坦方程与守恒律的结构？
• RQ5 此类几何推广对短程引力、引力子质量与双度规模型有何影响？

主要发现

• 本文基于MDRs，在（共）切洛伦兹丛上建立了修正引力与物质场理论的自洽公理化形式，实现了多种量子与经典引力模型的几何统一
• 研究证明，典范几乎辛形式与适配（非）线性联络可实现等价的几乎凯勒-拉格朗日/哈密顿几何，为MGTs提供了稳定的几何基础
• 推导出Finsler-拉格朗日-哈密顿引力的广义爱因斯坦方程，涵盖引力子质量、双度规结构与短程相互作用情形，全部基于d-联络与d-张量表述
• 该框架支持具有通用非对角项的非完整配置，表明仅具平凡N-联络的球对称情形无法完全描述无非平凡非线性结构的各向异性Finsler引力
• 研究识别出先前Finsler引力研究的关键局限——特别是缺乏精确解及对联络类型的依赖性——并提出通过所提出的d-联络与d-度规形式实现一致解的路径
• 研究揭示，现有Finsler时空中的奇点定理与雷乔德赫里类型推广对非线性与特殊联络的选择极为敏感，凸显了所提出一致几何框架的必要性