[论文解读] On Az\'ema-Yor processes, their optimal properties and the Bachelier-drawdown equation

Carraro, Laurent, Nicole El Karoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 29

一句话总结

本文建立了阿泽马-约尔过程、巴谢利耶下拉方程与最优鞅表示之间的深刻联系。证明了任何满足下拉约束（即始终高于其过去最大值的函数）的过程必然是一个阿泽马-约尔过程，且巴谢利耶SDE的解正是此类下拉约束过程。关键贡献在于，将阿泽马-约尔鞅表征为在最大值随机支配给定基准分布的鞅中，于凹序下最优的鞅，从而统一了斯科罗赫德嵌入问题与投资组合保险优化问题的解法。

ABSTRACT

We study the class of Az\'ema-Yor processes defined from a general semimartingale with a continuous running maximum process. We show that they arise as unique strong solutions of the Bachelier stochastic differential equation which we prove is equivalent to the drawdown equation. Solutions of the latter have the drawdown property: they always stay above a given function of their past maximum. We then show that any process which satisfies the drawdown property is in fact an Az\'ema-Yor process. The proofs exploit group structure of the set of Az\'ema-Yor processes, indexed by functions, which we introduce. We investigate in detail Az\'ema-Yor martingales defined from a nonnegative local martingale converging to zero at infinity. We establish relations between average value at risk, drawdown function, Hardy-Littlewood transform and its inverse. In particular, we construct Az\'ema-Yor martingales with a given terminal law and this allows us to rediscover the Az\'ema-Yor solution to the Skorokhod embedding problem. Finally, we characterize Az\'ema-Yor martingales showing they are optimal relative to the concave ordering of terminal variables among martingales whose maximum dominates stochastically a given benchmark.

研究动机与目标

• 表征满足下拉约束的鞅类，即那些始终高于其过去最大值函数的过程。
• 建立巴谢利耶随机微分方程与下拉方程之间的等价性，证明其解恰好为阿泽马-约尔过程。
• 证明阿泽马-约尔鞅在最大值随机支配给定基准分布的统一积分鞅中，于凹序下为最优。
• 通过终端分布构造法，为阿泽马-约尔解斯科罗赫德嵌入问题提供一种新的统一解释。
• 将理论应用于投资组合保险，表明阿泽马-约尔鞅在路径约束下的受限投资组合优化中为最优。

提出的方法

• 在由递增且绝对连续函数U参数化的阿泽马-约尔过程集合上引入群结构，从而系统分析其性质。
• 通过证明其满足巴谢利耶-下拉SDE，证明任何具有连续运行最大值的半鞅均为阿泽马-约尔过程。
• 建立巴谢利耶SDE与下拉方程之间的等价性，其中解需满足 Y_t ≥ w(Y^*_t)，w为给定函数。
• 利用哈代-利特尔伍德变换及其逆变换，将平均值在风险（AVaR）与过程的终端分布联系起来。
• 通过求解适当的函数U，构造具有预设终端分布的阿泽马-约尔鞅，从而恢复阿泽马-约尔对斯科罗赫德嵌入问题的解。
• 应用随机序理论，证明阿泽马-约尔鞅在终端值的凹序下，支配所有最大值随机支配给定基准分布的统一积分鞅。

实验结果

研究问题

• RQ1 巴谢利耶随机微分方程与下拉约束之间存在何种精确的数学关系？
• RQ2 是否每个满足下拉性质的过程均可表示为阿泽马-约尔过程？
• RQ3 如何构造具有给定终端分布的阿泽马-约尔鞅？
• RQ4 在所有最大值随机支配给定基准分布的统一积分鞅中，凹序下的最优鞅是什么？
• RQ5 阿泽马-约尔过程理论如何统一斯科罗赫德嵌入问题与投资组合保险问题的解？

主要发现

• 巴谢利耶SDE与下拉方程等价，其唯一强解恰好为阿泽马-约尔过程。
• 任何满足下拉约束 Y_t ≥ w(Y^*_t) 的过程（w为给定函数）必为某个非负半鞅X的阿泽马-约尔过程MU(X)。
• 具有终端分布ν的阿泽马-约尔鞅，在所有最大值随机支配给定基准分布的统一积分鞅中，于凹序下为最优。
• 通过求解使终端值服从ν分布的函数U，可构造具有给定终端分布ν的阿泽马-约尔鞅，从而恢复阿泽马-约尔对斯科罗赫德嵌入问题的解。
• 凹序问题下的最优鞅与最大值随机支配问题（最大化最大值）下的最优鞅相同，二者均为阿泽马-约尔鞅。
• 对于下限过程 Ft = g(Nt)，阿泽马-约尔鞅MU(N)在所有路径支配Ft的统一积分鞅中，于凹序下为最优，且即使限制在Ft分布支配的更大鞅类中，该最优性依然成立。