[论文解读] On Banach spaces without the approximation property

O. I. Reinov|ArXiv.org|Mar 15, 2002

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文构建了一个不具备逼近性质的巴拿赫空间，但其有限维子空间仍具有良好的互补性——具体而言，$ n $-维子空间在全空间中的互补性为 $ C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $。该构造基于索桑基的改进方法，将子空间 $ X_\varepsilon $ 嵌入到 $ \ell^2 $-空间的混合范数 $ \ell^2 $-和中，其中 $ p_n $-范数的选择确保了类型2和余类型2，同时通过算子理想范数和投影的几何估计控制互补性。

ABSTRACT

A. Szankowski's example is used to construct a Banach space similar to that of "An example of an asymptotically Hilbertian space which fails the approximation property", P.G. Casazza, C.L. Garc\'ıa, W.B. Johnson [math.FA/0006134 ([e-mail])].

研究动机与目标

• 回答：具有类型2和余类型2的巴拿赫空间，其所有子空间是否必然具有逼近性质。
• 研究在缺乏逼近性质的巴拿赫空间中，有限维子空间能有多好地被互补。
• 构造一个具有类型2和余类型2、但不具备逼近性质，且其子空间为 $ C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $-互补的巴拿赫空间。
• 探讨非逼近空间中互补性界限的紧致性，特别是 $ C \log n $-互补是否可能。

提出的方法

• 该构造基于索桑基方法，使用集合序列 $ I_n = \{2^n+1, \dots, 2^{n+1}\} $ 和 $ c_0 $ 中的向量 $ z_i $ 及其关联泛函 $ z_i' $。
• 通过在 $ I_n $ 上平均定义一个关键泛函 $ \beta_n(U) $，其差值 $ \beta_n(U) - \beta_{n-1}(U) $ 与 $ \nabla_n $ 上的和相关，$ \nabla_n $ 被组织为大小满足 $ m_n \geq C 2^{n/8} $ 的块。
• 全空间 $ Y $ 定义为 $ \Delta_n $ 中块上 $ \ell^2 $-空间的混合范数 $ \ell^2 $-和，其中 $ p_n $ 的选择满足 $ 1/p_n - 1/2 = n^{-1} \log_a n^{1+\varepsilon} $，以确保 $ T(Y) = C(Y) = 2 $。
• 空间 $ X_\varepsilon $ 是 $ \{z_i\} $ 在 $ Y $ 中线性张成的闭包，其缺乏逼近性质通过使用 $ \beta_n $-泛函和文献[2]中的引理1的扰动论证证明。
• 通过估计投影的 $ \gamma_2 $-范数得到互补性界：当 $ n = 2^N $ 时，有 $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} N^{1+\varepsilon} $，从而导出 $ \log^{1+\varepsilon} n $-互补性。
• 通过选择更精细的 $ p_n $，使得 $ \varepsilon_n \to 0 $ 且 $ \sum n^{-1-\varepsilon_n} < \infty $，得到一个空间，其中 $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $，确认了该界可实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 若一个巴拿赫空间具有类型2和余类型2，是否其每个子空间都必须具有逼近性质？
• RQ2 一个不具备逼近性质的巴拿赫空间是否仍可能具有 $ C \log^{1+\varepsilon} n $-互补的有限维子空间（对某个 $ \varepsilon > 0 $）？
• RQ3 能否构造一个不具备逼近性质的空间，使得所有 $ n $-维子空间均为 $ C \log n $-互补？
• RQ4 在非逼近可约巴拿赫空间中，有限维子空间的最优互补速率是什么？
• RQ5 互补界能否改进为 $ C \log n $，还是 $ \log^{1+\varepsilon} n $ 是此类构造下最优的？

主要发现

• 空间 $ X_\varepsilon $（即 $ \{z_i\} $ 在混合范数空间 $ Y $ 中张成的闭包）不具备逼近性质。
• 对每个 $ n $-维子空间 $ E \subset X_\varepsilon $，其与 $ \ell^n_2 $ 的巴拿赫-梅祖尔距离满足 $ d(E, \ell^n_2) \leq C_\varepsilon \log^{1+\varepsilon} n $。
• 每个 $ n $-维子空间 $ E \subset X_\varepsilon $ 在 $ Y $ 中（因而也在 $ X_\varepsilon $ 中）是 $ C_\varepsilon \log^{1+\varepsilon} n $-互补的。
• 互补界通过投影的 $ \gamma_2 $-范数估计得出：当 $ n = 2^N $ 时，有 $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} N^{1+\varepsilon} $，从而导出 $ \log^{1+\varepsilon} n $-互补性。
• 通过选择满足 $ \varepsilon_n \to 0 $ 且 $ \sum n^{-1-\varepsilon_n} < \infty $ 的 $ p_n $，得到一个空间，其中 $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $，确认该界可实现。
• 本文表明，在相同条件下 $ C \log n $-互补不可实现，暗示 $ \log^{1+\varepsilon} n $ 对此类构造而言本质上是最优的。