[论文解读] On Banach Structure of Multivariate BV Spaces I

Alexander Brudnyi, Yuri Brudnyi|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过局部多项式逼近与原子分解，提出了一套统一的有界变差（BV）多变量函数框架，建立了对偶性与弱*紧致性性质。证明了这些BV空间的预对偶空间与由 $ C^{ u} $ 函数生成的可分子空间的对偶空间等距同构，从而得出一个‘双星定理’：该可分子空间的二阶对偶空间与完整的BV空间等距同构。

ABSTRACT

We introduce and study multivariate generalizations of the classical BV spaces of Jordan, F. Riesz and Wiener. The family of the introduced spaces contains or is intimately related to a considerable class of function spaces of modern analysis including BMO, BV, Morrey spaces and those of Sobolev of arbitrary smoothness, Besov and Triebel-Lizorkin spaces. We prove under mild restrictions that the BV spaces of this family are dual and present constructive characterizations of their preduals via atomic decompositions. Moreover, we show that under additional restrictions such a predual space is isometrically isomorphic to the dual space of the separable subspace of the related BV space generated by $C^\infty$ functions. As a corollary we obtain the "two stars theorem" asserting that the second dual of this separable subspace is isometrically isomorphic to the BV space. An essential role in the proofs play approximation properties of the BV spaces under consideration, in particular, weak$^*$ denseness of their subspaces of $C^\infty$ functions. Our results imply the similar ones (old and new) for the classical function spaces listed above obtained by the unified approach.

研究动机与目标

• 通过局部多项式逼近与原子分解，发展经典BV空间的多变量推广。
• 建立这些广义BV空间的对偶结构，包括其预对偶空间的构造性表征。
• 证明 $ C^{∞} $ 函数在BV空间中的弱*紧致性与可分性结果。
• 在单一变分框架下统一经典函数空间——BMO、BV、Morrey、Sobolev、Besov与Triebel-Lizorkin——的研究。
• 建立一个‘双星定理’，表明由 $ C^{∞} $ 函数生成的可分子空间的二阶对偶空间与完整BV空间等距同构。

提出的方法

• 通过 $ \mathbb{R}^d $ 中 dyadic cube 上的局部多项式逼近所定义的变差范数，定义一个具有多参数的BV空间族。
• 利用 $ \kappa $-原子对预对偶空间进行原子分解，以表征BV空间的对偶空间。
• 应用弱*拓扑与Kreïn-Smulian准则，证明对偶空间上泛函的弱*连续性。
• 建立预对偶空间与由 $ C^{∞} $ 函数生成的可分子空间的对偶空间之间的等距同构。
• 利用 $ C^{∞} $ 函数在BV空间中弱*稠密的事实，证明紧致性与对偶性结果。
• 运用测度论工具，包括有限Borel测度 $ \mu_{v^*} $，以表示泛函并验证有界性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一变分框架下统一经典多变量BV空间及相关函数空间（如BMO、Sobolev、Besov等）？
• RQ2 所引入的多变量BV空间的预对偶空间是什么？如何通过原子分解进行表征？
• RQ3 在何种条件下，BV空间的预对偶空间与由 $ C^{∞} $ 函数生成的可分子空间的对偶空间等距同构？
• RQ4 $ C^{∞} $ 函数在BV空间中的弱*稠密性如何促进对偶性与紧致性结果的建立？
• RQ5 能否为这些广义BV空间建立一个‘双星定理’，表明该可分子空间的二阶对偶空间与完整BV空间等距同构？

主要发现

• 多变量BV空间的预对偶空间通过 $ \kappa $-原子的原子分解被构造性表征。
• 预对偶空间与由 $ C^{∞} $ 函数生成的可分子空间的对偶空间等距同构。
• $ C^{∞} $ 函数空间在BV空间中弱*稠密，这对证明弱*紧致性与对偶性至关重要。
• 可分子空间的对偶空间与完整BV空间等距同构，从而确立了‘双星定理’。
• BV空间上的泛函是弱*连续的，且可表示为对有限Borel测度的积分。
• 结果统一并推广了经典函数空间（如BMO、BV、Morrey与Sobolev空间）已知的对偶性与拟自反性结果。