[论文解读] On basic curvature identities for almost (para)contact metric manifolds

Joanna Wełyczko|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文通过推广半直积构造与辅助的几乎（para）Hermitian结构，将曲率恒等式从几乎（para）接触度量流形推广至更广泛的类。作者证明了几乎（para）接触度量结构的正规性蕴含涉及张量场 φ 与Levi-Civita联络的特定曲率算子恒等式，从而将Blair与Zamkovoy的先前结果扩展至更广义的流形类。

ABSTRACT

In monograph of D. E. Blair "Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds" and in the paper of S. Zamkovoy "Canonical connections on paracontact manifolds", the curvature identities respectively for contact and paracontact metric manifold are proved. We obtain the curvature identity in the wider class of manifolds, which generalizes results presented in above mentioned publications. Moreover, we present some properties of almost (para)hermitian structure on a special semiproduct of R+ and an almost (para)contact metric manifold. This semiproduct plays an auxiliary role in proving main theorem.

研究动机与目标

• 将曲率恒等式从接触与para接触度量流形推广至更广义的几乎（para）接触度量流形类。
• 建立对接触（ε₁ = -1）与para接触（ε₁ = 1）结构均适用的统一曲率恒等式。
• 研究半直积构造在连接几乎（para）接触与几乎（para）Hermitian结构中的作用。
• 以Levi-Civita联络与Nijenhuis张量表达正规性的充要条件。
• 分析在维度 ≥ 5 的共形平坦正规几乎（para）接触度量流形上的曲率约束。

提出的方法

• 通过满足 φ²X = ε₁(X - η(X)ξ) 与 g(φX, φY) = -ε₁(g(X,Y) - ε₀η(X)η(Y)) 的 (φ, ξ, η, g) 引入广义的几乎（para）接触度量结构。
• 定义基本形式 Φ(X,Y) = g(X, φY)，并利用Nijenhuis张量 N 及其修正形式 N⁽¹⁾ 来刻画正规性。
• 构造半直积流形 M̃ = M × ℝ，其上定义几乎（para）复结构 J 满足 J∂ₜ = ε₁ξ 且 JX = φX + η(X)∂ₜ。
• 对几乎（para）复流形 (M̃, J) 应用广义的Gray曲率定理，假设存在满足 [∇_X, J] = ∇_X J 与 [∇_JX, J] = δJ[∇_X, J]（δ = ±1）的联络 ∇。
• 推导出涉及黎曼曲率算子 R 与张量 J 的曲率恒等式，进而在正规性条件下导出主恒等式。
• 利用几乎（para）接触结构的正规性与半直积流形上Nijenhuis张量 Ñ 的消失性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几乎（para）接触度量流形类中，是否存在一个普遍成立的曲率恒等式，可推广已知的接触与para接触流形结果？
• RQ2 M × ℝ 上带有几乎（para）复结构的半直积构造如何有助于推导曲率恒等式？
• RQ3 几乎（para）接触度量结构的正规性与流形 M × ℝ 上相应几乎（para）复结构的可积性之间的确切关系为何？
• RQ4 在维度 ≥ 5 的共形平坦正规几乎（para）接触度量流形中，会产生何种曲率约束？
• RQ5 能否使用单一框架统一推导出接触（ε₁ = -1）与para接触（ε₁ = 1）结构的曲率恒等式？

主要发现

• 本文建立了正规几乎（para）接触度量流形的通用曲率恒等式：([R(Z,φX),φ] + [R(φZ,X),φ] + ε₁[R(φZ,φX),φ]φ + [R(Z,X),φ]φ)Y = -η(Y)(ε₁R(Z,X)ξ + R(φZ,φX)ξ)。
• 对于维度为 2n+1 ≥ 5 的共形平坦正规几乎（para）接触度量流形，Ricci张量满足 R̂ic(φX) - φR̂ic(X) = η(R̂ic(φX))ξ - η(X)φR̂ic(ξ)，即公式 (45)。
• Ricci张量满足对称性条件 Ric(X,Y) + ε₁Ric(φX,φY) = η(X)Ric(Y,ξ) + η(Y)Ric(X,ξ) - η(X)η(Y)Ric(ξ,ξ)，如公式 (46) 所示。
• 对于任意 X ∈ D（即 η 的核），Ricci张量满足 Ric(X,X) + ε₁Ric(φX,φX) = 0，如公式 (47) 所示。
• 正规性条件等价于Nijenhuis张量 N⁽¹⁾ 的消失，且该条件等价于流形 M × ℝ 上几乎（para）复结构 J 的可积性。
• 通过将结构提升至半直积流形，并在 δ = 1 条件下应用广义的Gray型曲率定理，推导出曲率恒等式，从而得出主结果。